CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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para n ∈ N. Por ejemplo,
I0 = [−1, 1]
1 1
, I1 = − ,
2 2
1 1
I2 = − ,
.
3 3
Observe que
I0 ⊇ I 1 ⊇ I 2 ⊇ · · ·
es decir, los intervalos van decreciendo con relación a ⊆. Mostraremos que
n∈N
In = {0}.
En efecto, es obvio que 0 ∈ In para todo n ∈ N. Por otra parte, mostraremos que si r = 0,
entonces existe n ∈ N tal que r ∈ In . En efecto, como |r| > 0 entonces existe n ∈ N tal que
1
|r| > n+1 (propiedad Arquimediana de R). Por lo tanto r ∈ In .
2
La longitud de un intervalo [a, b] se define como la diferencia de sus extremos, es decir,
la longitud de [a, b] es b − a. En el ejemplo anterior, tenemos que la longitud de I n es
1
1
2
− (−
)=
n+1
n+1
n+1
2
Observemos que dado r > 0 cualquiera existe un natural n tal que n+1 < r. Esto dice que la
longitud de los intervalos In del ejemplo anterior se hace tan pequeña como se quiera. Estos
son los ingredientes del siguiente teorema.
Teorema 5.61. (Principio de los intervalos encajados) Sea {In }n∈N una colección de intervalos cerrados en R tales que
(i) In+1 ⊆ In ,
(ii) Para todo r > 0 existe un n tal que longitud de In es menor que r.
Entonces existe un real z tal que
n
In = {z}.
2
Demostración: Sea an , bn los extremos de In , es decir, In = [an , bn ]. Por hipótesis In+1 ⊆ In ,
por lo tanto
an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn .
Es decir, tenemos que
a0 ≤ a1 ≤ · · · ≤ an ≤ an+1 ≤ · · · ≤ bn+1 ≤ bn ≤ · · · ≤ b1 ≤ b0
(5.4)