5.8. R NO ES NUMERABLE
5.8.
177
R no es numerable
En ésta sección mostraremos que R no es numerable. Daremos dos argumentos distintos.
Comenzaremos con uno que hace uso de la representación decimal de los números reales,
sobre la que supondremos el lector tiene alguna familiaridad. Después daremos otro que sólo
usa el axioma del supremo. An ambos argumentos se muestra que ninguna función f : N → R
es sobreyectiva, construyendo un número real que no pertenece al rango de f .
Teorema 5.59. R no es numerable.
Demostración: (Primer argumento). Cada número real lo identificaremos con una expresión de la forma que se indica a continuación, llamada su expansión decimal:
b, a0 a1 · · · an · · ·
donde b es un entero y cada ai es un natural. Fijemos una función f : N → R. Construiremos
la expansión decimal de un real que no pertenece al rango de f . Cada real f (m) en el rango
de f tiene una expansión decimal b, a0 a1 · · · . Para distinguir una expansión de otra usaremos
supraindices (en este caso no confundirlos con la notación de las potencias). Así obtemos la
siguiente tabla de expansiones decimales de los reales que están en el rango de f .
f (0)
= b 0 , a 0 a0 a0 · · · a 0 · · ·
0 1 2
n
f (1)
.
.
.
= b 1 , a 1 a1 a1 · · · a 1 · · ·
n
0 1 2
f (m) = bm , am am am · · · am · · ·
0
1
2
n
.
.
.
Ahora describiremos la expansión decimal de un real que no está en el rango de f . Considere
los siguientes números
0 , si an = 0
n
cn =
1 , si an = 0.
n
Finalmente sea r el real cuya expansión decimal es igual a
0, c0 c1 c2 · · · cn · · ·
De la definición de la sucesión cn se tiene que cn = an para todo n. Esto garantiza que
n
r = f (n) para todo n. Es decir, r no pertenece al rango de f .
2
Ahora daremos otra demostración de que R no es numerable. Para hacerlo necesitaremos una propiedad muy importante de los números reales. Antes de enunciarla daremos un
ejemplo.
Ejemplo 5.60. Considere la siguiente colección de intervalos cerrados
In = −
1
1
,
n+1 n+1