CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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Y por lo tanto
|NN | ≤ |P(N × N)|
y en consecuencia
|NN | ≤ |P(N)|.
2
Ejemplo 5.58. Mostraremos que
{0, 1}N ≈ {0, 1, 2}N .
Es suficiente mostrar que
|{0, 1}N | ≤ |{0, 1, 2}N | y |{0, 1, 2}N | ≤ |{0, 1}N |.
La primera desigualdad es clara pues {0, 1}N ⊆ {0, 1, 2}N (¿por qué?). Por otra parte, como
{0, 1, 2}N ⊆ NN (¿por qué?), entonces
|{0, 1, 2}N | ≤ |NN |.
De 5.56 y 5.57 sabemos que
NN ≈ {0, 1}N .
Por lo tanto
|{0, 1, 2}N | ≤ |{0, 1}N |
y con esto termina la demostración.
2
Ejercicios 5.7
1. Muestre que {0, 1}N ≈ {4, 5, 6, 7, 8}N .
2. Muestre que {0, 1}N ≈ ZN .
3. Muestre que |P(Q)| = |NN |.
4. Muestre que R \ Z ≈ R.
(Sugerencia: Halle una función inyectiva f : R → R \ Z).
5. Muestre que la función F definida en el ejemplo 5.56 es biyectiva.
(Sugerencia: Para ver que F es inyectiva, tome A, B ∈ P(N) distintos. Entonces hay
dos casos que se tratan de manera similar. Sup