5.7. APLICACIONES DEL TEOREMA DE SCHRÖDER-BERNSTEIN
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a) Z × Z y Q.
b) Q × Q y R.
13. Sean An conjuntos, n ∈ N. Si |An | ≤ |N|. Muestre que
|
n∈N
An | ≤ |N|.
14. Sean A y B conjuntos numerables. Muestre que A ∪ B es numerable.
15. Muestre que la colección X de todos los subconjuntos finitos de N es numerable.
(Sugerencia: Muestre primero que para cada n ∈ N la colección de todos los subconjuntos de N con exactamente n elementos es numerable. Después observe que X es la
unión numerable de conjuntos numerables).
5.7.
Aplicaciones del teorema de Schröder-Bernstein
En matemáticas se usan con frecuencia conjuntos que tienen la misma cardinalidad que
P(N). En esta sección veremos algunos ejemplos.
Ejemplo 5.56. Mostraremos que
{0, 1}N ≈ P(N).
Considere la función F : P(N) → {0, 1}N dada por
F (A) = fA .
Donde fA es la función característica de A (ver la definición 4.10). Dejamos como ejercicio
al lector verificar que F es una biyección.
2
Ejemplo 5.57. Mostraremos que
P(N) ≈ NN .
Como {0, 1}N ⊆ NN y {0, 1}N ≈ P(N) (por lo visto en el ejemplo 5.56), entonces tenemos que
|P(N)| ≤ |NN |. Bastaría entonces ver que |NN | ≤ |P(N)|. Pues por el teorema de SchröderBernstein podemos concluir que esos dos conjuntos son equipotentes.
Recordemos que N × N ≈ N y por consiguiente por el teorema 5.32 tenemos que
P(N) ≈ P(N × N).
Ahora bien, cada función f ∈ NN es una relación binaria sobre N. Es decir, cada función
f ∈ NN es un subconjunto de N × N. En otras palabras, tenemos que
NN = {f ⊆ N × N : f es una función} ⊆ P(N × N).