CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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3. Muestre que la colección de todos los subconjuntos de N con exactamente 3 elementos
es numerable.
(Sugerencia: Imite lo hecho en el ejemplo 5.55).
4. Muestre las siguientes afirmaciones.
a) Todo subconjunto de un conjunto numerable es finito ó numerable.
b) Todo conjunto infinito tiene un subconjunto numerable.
c) Si |N| ≤ |A|, entonces A es infinito.
d ) A es finito ó numerable si, y sólo si, |A| ≤ |N|.
5. Si A es infinito y A ⊆ B, entonces B es infinito.
6. Sea B un conjunto infinito, y A ⊆ B finito. Muestre que
a) B − A es infinito.
b) B − A ≈ B, esto no es tan fácil de ver. Los reto a que lo prueben!
7. Sean A y B conjuntos tales que A ⊆ B. Muestre que si A no es numerable, entonces
B no es numerable.
8. Sea A un conjunto. Muestre que A × N es numerable si, y sólo si, |A| ≤ |N|.
9. Muestre que si A y B son numerables, entonces A × B es numerable.
(Sugerencia: Use el teorema 5.28).
10. Sea A un conjunto finito y f : A → A una función. Muestre que
a) Si f es inyectiva, entonces es f biyectiva.
b) Si f es sobreyectiva, entonces f es biyectiva.
c) Halle una función f : N → N que sea inyectiva pero no sea sobreyectiva. ¿Qué
tiene esto que ver con lo mostrado en (a)?
d ) Halle una función f : N → N que sea sobreyectiva pero no sea inyectiva. ¿Qué
tiene esto que ver con lo mostrado en (b)?
11. Muestre que la función g : N × N → N definida por
g(a, b) =
(a + b + 1)(a + b + 2)
−a−1
2
es biyectiva.
(Sugerencia: Use inducción para mostrar que rango(g) = N).
12. Considere la regla
(a, b) → 2a (2b + 1) − 1
que mostramos define una biyección de N × N en N (ver el teorema 5.28). Determine
si esa regla define una inyección entre