5.6. CONJUNTOS NUMERABLES
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Para ver que Q es numerable bastaría ver, por el teorema 5.53, que cada An es numerable.
En efecto, la función fn : Z → An definida por fn (m) = m es biyectiva. Por consiguiente, An
n
es numerable.
2
Ejemplo 5.55. Sea X la colección de todos los subconjuntos de N con exactamente dos
elementos. Es decir
X = {A ⊆ N : |A| = 2}.
Mostraremos que X es numerable, es decir, que |X| = |N|. Usaremos el teorema de SchröderBernstein 5.46. Para esto debemos mostrar dos cosas: |N| ≤ |X| y |X| ≤ |N|.
(1) |N| ≤ |X|: Considere la siguiente función f : N → X dada por
f (n) = {0, n + 1}.
Entonces f es inyectiva (muéstrelo!). Por consiguiente |N| ≤ |X|.
(2) |X| ≤ |N|: Como N ≈ N × N, entonces es suficiente mostrar que |X| ≤ |N × N|.
Considere la función g : N × N → X dada por
g(n, m) =
{n, m}
, si n = m
{n, n + 1} , si n = m.
Verifique que g es sobreyectiva. Por lo tanto |X| ≤ |N × N|.
2
Ejercicios 5.6
1. Muestre que los siguientes conjuntos son numerables:
a) La colección de todos los números primos.
b) La colección de todos los enteros múltiplos de 8.
c) N3 , Q2 , Q3 .
2. Determine cuáles de los siguientes conjuntos son numerables.
a) {q ∈ Q : Existe un entero m tal que 5m + 1 < q < 5m + 2}.
b) {(n, m) ∈ N × N : n es par y m es impar}.
c) {q ∈ Q : q 2 < 2}.
d ) {q ∈ Q : q 4 + 5q 3 − q 2 + 7q − 12 = 0}.
e) {n ∈ N : n divide a 1.567.344.987.678.333}.
f ) {(n, q) ∈ N × Q : n es múltiplo de 5 y q ≥ 0}.
g) {(n, m) ∈ N × N : n divide a m}.