CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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5.6.
Conjuntos numerables
En esta sección estudiaremos un tipo particular de conjunto infinito que juega un papel
importante dentro de las matemáticas.
Definición 5.51. Diremos que un conjunto A es numerable si A ≈ N.
Observe que podemos expresar de manera equivalente que A sea numerable escribiendo
|A| = |N|.
Teorema 5.52. Todo subconjunto de N es finito ó numerable.
Demostración: Sea A ⊆ N. Si A es finito, no hay nada que mostrar. Si A es infinito, entonces
por el teorema 5.39 sabemos que |N| ≤ |A|. Como A ⊆ N, entonces |A| ≤ |N|. Luego por el
teorema de Schöeder-Bernstein 5.46 tenemos que N ≈ A.
2
Hemos visto que Z es numerable y el teorema 5.28 nos dice que N × N es numerable.
Ahora mostraremos que Q es numerable. Para hacerlo necesitaremos el siguiente resultado.
Teorema 5.53. Sea {An : n ∈ N} una colección de conjuntos numerables. Entonces
es numerable.
n
An
Demostración: Denotemos por A la unión de todos los conjuntos An , es decir
A=
An .
n∈N
Ya que A0 ⊆ A, entonces |A0 | ≤ |A|. Como A0 es numerable, entonces |N| ≤ |A|. Mostraremos
que |A| ≤ |N|. Después de mostrarlo podemos usar el teorema de Schröder-Bernstein 5.46
para concluir que A es equipotente con N y por lo tanto numerable.
Como cada An es numerable existe una biyección fn : N → An . Definiremos una sobreyección g : N × N → A. Esto mostrará que |A| ≤ |N × N|. Como |N × N| = |N|, entonces
|A| ≤ |N|. La definición de g es como sigue:
g(n, m) = fn (m).
Veamos que g es sobreyectiva. Sea a ∈ A, entonces existe n tal que a ∈ An . Como fn es
sobreyectiva, entonces existe m ∈ N tal que fn (m) = a. Esto muestra que g(n, m) = a.
2
Teorema 5.54. Q es numerable.
Demostración: Definimos para cada n ∈ N con n > 0 un conjunto An de la manera siguiente:
An =
m
: m∈Z .
n
Notemos que
Q=
An .
n∈N