5.5. EL TEOREMA DE SCHRÖDER-BERNSTEIN
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(i) h es inyectiva. En efecto, observe que h[M ] = f [M ] = N y h[A \ M ] = g −1 (A \ M ) =
B \ N . En particular h[M ] ∩ h[A \ M ] = ∅. Como f y g son inyectivas, de lo anterior
se concluye que h es inyectiva (el lector interesado verificará esta afirmación).
(ii) h es sobreyectiva. En efecto, ya vimos que h[M ] = N y h[A \ M ] = B \ N y por lo
tanto h[A] = B.
2
Ejercicios 5.46
1. Muestre que |Z| ≤ |Q|.
2. Muestre que |N × {0, 1}| ≤ |Z × {0, 1, 2}|.
3. Muestre que |N × {1, 2}| ≤ |Z × {3, 4}|.
4. Muestre que |N| ≤ |N × N|.
5. Muestre que (−1, 1) ≈ [−1, 1].
1
(Sugerencia: Muestre que |(−1, 1)| ≤ |[−1, 1]| y que [−1, 1] ≈ [− 2 , 1 ]).
2
6. Muestre que (1, 2) ∪ (4, 5) ≈ (3, 4).
(Sugerencia: Use la función definida en el ejercicio 2 de §5.2).
7. Sea P la colección de todos los números naturales pares. Muestre que |P | ≤ |N × N|.
8. Sean A y B conjuntos no vacíos. Muestre que |A| ≤ |A × B|.
9. Muestre que |N| ≤ |P(N)|.
10. Sea A un conjunto. Muestre que |A| ≤ |P(A)|.
11. Muestre que |N × {1, 2}| = |N|.
12. Muestre que |N × {1, 2, 3}| = |N|.
13. Muestre que |N| ≤ |NN |.
14. |N × N| ≤ |NN |.
15. Muestre que |P(N)| ≤ |P(NN )|.
16. Complete la demostración del teorema 5.46 comprobando las siguientes afirmaciones:
f [M ] = N
g[N ] = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ∪ · · ·
−1
g (A \ M ) = B \ N.