CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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5.5.1.
Demostración del teorema de Schröder-Bernstein
Sean f : A → B y g : B → A funciones inyectivas. Para definir la biyección h : A →
B necesitamos hacer un construcción auxiliar. Definiremos, para cada número natural n,
subconjuntos An ⊆ A y Bn ⊆ B de la siguiente manera:
A0 = A \ g[B]
B0 = f [A0 ]
A1 = g[B0 ]
B1 = f [A1 ]
.
.
.
An+1 = g[Bn ]
Bn+1 = f [An+1 ]
.
.
.
A0
A1
A2
g
······
f
B0
B1
B2
Sea
M = A0 ∪ A1 ∪ A2 ∪ · · ·
y
N = B0 ∪ B1 ∪ B2 ∪ · · ·
La verificación de las siguientes afirmaciones las dejaremos a cargo del lector.
f [M ] = N
g[N ] = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ∪ · · ·
−1
g (A \ M ) = B \ N.
Notemos que si x ∈ A \ M , entonces x ∈ A0 , es decir x ∈ g[B] y por lo tanto g −1 (x) está
definido. Podemos entonces definir h : A → B como se indica a continuación:
h(x) =
Veamos que h es biyectiva:
f (x)
, si x ∈ M .
−1
g (x) , si x ∈ A \ M .