CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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Mostraremos que g es sobreyectiva. En efecto, sea a ∈ A y pongamos b = f (a), entonces se
tiene que g(b) = a.
(ii) ⇒ (i) Sea g : B → A una función sobreyectiva. Para cada a ∈ A sabemos que existe
al menos un elemento b ∈ B tal que g(b) = a. Fijemos entonces para cada a ∈ A un elemento
ba ∈ B tal que g(ba ) = a. Definimos f : A → B de la siguiente manera:
f (a) = ba .
Mostraremos que f es inyectiva. Sean a, a ∈ A diferentes. Entonces por la manera que
escogimos ba y ba tenemos que g(ba ) = a y g(ba ) = a . Por consiguiente ba = ba , pues de lo
contrario g no sería una función.
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Observaciones:
(i) Por el teorema 5.44 tenemos que |A| ≤ |B| es equivalente a decir que existe una función
inyectiva f : A → B.
(ii) Observe que si A ≈ B, entonces |A| ≤ |B|.
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Ejemplos 5.45.
1. Si A ⊆ B, entonces |A| ≤ |B|. En efecto, considere la función f :
A → B, dada por f (x) = x. Entonces f es inyectiva. En consecuencia tenemos que:
|N| ≤ |Z|, |Z| ≤ |Q|, |Q| ≤ |R|.
2. Ya vimos que el conjunto P de los números naturales pares y el conjunto I de los
impares son equipotentes. En particular esto dice que |P | ≤ |I| y también que |I| ≤ |P |.
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El siguiente teorema nos da una herramienta importante para determinar cuando dos
conjuntos son equipotentes.
Teorema 5.46. (Schröder-Bernstein) Si |A| ≤ |B| y |B| ≤ |A|, entonces A ≈ B.
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La demostración la haremos al finalizar esta sección.
Definición 5.47. Sean A y B conjuntos. Si A ≈ B, entonces escribiremos
|A| = |B|.
Y por otra parte, si |A| ≤ |B| pero |A| = |B|, entonces escribiremos
|A| < |B|.
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El siguiente resultado es una consecuencia inmediata de los teoremas 5.44 y 5.46 y nos
dice que las relaciones ≤ y = que hemos definido entre conjuntos tienen las propiedades que
uno espera.