5.5. EL TEOREMA DE SCHRÖDER-BERNSTEIN
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5. Sea A y B dos conjuntos tales que A tenga al menos 2 elementos y B no sea vacío.
Muestre que si A o B es infinito, entonces AB es infinito.
(Sugerencia: Use el teorema 5.39).
6. Sea S ⊆ R no vacío y acotado superiormente. Sea r = sup A. Muestre que si r ∈ A,
entonces A es infinito.
5.5.
El teorema de Schröder-Bernstein
Para los conjuntos finitos tenemos la noción de número de elementos la cual nos permitió
introducir las notaciones
|A| = n y |A| ≤ |B|.
En esta sección extenderemos esta notación a los conjuntos infinitos y estudiaremos sus
propiedades.
Definición 5.42. Sean A y B dos conjuntos. Escribiremos
|A| ≤ |B|
si existe una función f : B → A sobreyectiva.
Comenzaremos mostrando que la relación ≤ que acabamos de introducir es reflexiva y
transitiva.
Teorema 5.43. Sean A, B y C conjuntos. Entonces se tiene que
(i) |A| ≤ |A|.
(ii) Si |A| ≤ |B| y |B| ≤ |C|, entonces |A| ≤ |C|.
Demostración: (i) Pues A ≈ A.
(ii) Sean f : B → A y g : C → B funciones sobreyectiva. Entonces f ◦ g : C → A es
sobreyectiva (por ser la composición de sobreyectivas, ver el teorema 4.37) y por lo tanto
|A| ≤ |C|.
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Teorema 5.44. Sean A y B dos conjuntos. Las siguientes afirmaciones son equivalentes
(i) Existe una función inyectiva f : A → B.
(ii) Existe una función sobreyectiva g : B → A.
Demostración: (i) ⇒ (ii) Sea f : A → B una función inyectiva. Si f es sobreyectiva, entonces
tomamos g = f −1 . Si f no es sobreyectiva, escogemos a0 cualquier elemento de A. Como f
es inyectiva, dado b ∈ rango(f ) existe un único a ∈ A tal que f (a) = b, con esto en mente
definimos g : B → A de la siguiente manera
g(b) =
a , si b ∈ rango(f ) y f (a) = b
a0 , si b ∈ rango(f ).