5.4. CONJUNTOS INFINITOS
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Teorema 5.39. Un conjunto A es infinito si, y sólo si, existe una función inyectiva f : N →
A.
Demostración: Supongamos que A es infinito. Definiremos una función f : N → A inyectiva.
Para ese fin, mostraremos que es posible escoger, para cada n ∈ N, un elemento an ∈ A de
tal manera que si n = m son naturales, entonces an = am . Una vez hecho esto, definiremos
f (n) = an y tendremos la función inyectiva que buscábamos.
Como A es infinito, en particular A no es vacío. Sea entonces a0 ∈ A cualquiera. Notemos
que
A = (A − {a0 }) ∪ {a0 }
y {a0 } es finito, entonces A − {a0 } no es finito y en particular no es vacío. Luego podemos
escoger a1 ∈ A con a1 = a0 . Supongamos que hemos escogido ak ∈ A para k ≤ n tal que
ak = al si k = l y k, l ≤ n. Notemos que A − {a0 , a1 , · · · , an } no es vacío, pues si lo fuera,
entonces A = {a0 , a1 , · · · , an }, y en consecuencia A sería finito. Por esta razón sabemos que
existe un elemento a ∈ A diferente de a0 , a1 , · · · , an , escojamos uno de ellos y denotémoslo
por an+1 . Por lo dicho al comienzo, la función f : N → A dada por f (n) = an es inyectiva.
Recíprocamente, supongamos que f : N → A es una función inyectiva y sea B =
rango(f ). Entonces por la proposición 5.24 se tiene que N ≈ B. Como N no es finito,
entonces B no es finito. Como B ⊆ A, entonces A no es finito.
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Ejemplo 5.40. Por lo visto en la sección 5.2 sabemos que el intervalo (0, 1) es infinito.
Podemos mostrarlo de otra forma usando el teorema 5.39. En efecto, considere la función
f : N → (0, 1) dada por f (n) = 1/(n + 2). El lector puede verificar fácilmente que f es
inyectiva.
Un conjunto A se dice que es infinito en el sentido de Dedekind si existe B ⊆ A tal
que A ≈ B. El siguiente teorema nos dice que este concepto es equivalente al de conjunto
infinito.
Teorema 5.41. Un conjunto A es infinito si, y sólo si, existe B ⊆ A tal que A ≈ B y
B = A.
Demostración: (Si ) Mostraremos la contrarrecíproca. Supongamos que A es finito y que
B ⊆ A con A = B. Por el teorema 5.38 concluimos que A ≈ B.
(Sólo si ) Supongamos que A es infinito. Por el teorema 5.39 sabemos que existe una
función f : N → A inyectiva. Sea B = A − {f (0)}. Mostraremos que A ≈ B. Ya que f es
inyectiva, entonces existe una función biyectiva h : rango(f ) → N tal que (h ◦ f )(n) = n
para todo n ∈ N y (f ◦ h)(a) = a para todo a ∈ rango(f ). Definimos g : B → A de la
siguiente manera
f (h(b) − 1) , si b ∈ B ∩ rango(f )
g(b) =
b
, si b ∈ B − rango(f ).
Observe que h(b) = 0 si, y sólo si, b = f (0). Luego para todo b ∈ B ∩ rango(f ) se cumple
que h(b) − 1 ≥ 0 y por lo tanto g está bien definida.
Mostraremos que g es biyectiva.