CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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Demostración: Sea A un conjunto finito. Si A es vacío, entonces no hay nada que demostrar
pues el único subconjunto de ∅ es ∅. Por esto podemos suponer que A no es vacío. Sea
n = |A| y f : {1, · · · , n} → A una biyección y B ⊆ A con B = A. Entonces f −1 (B) es un
subconjunto propio de {1, · · · , n}. Le dejamos al lector convencerse que basta mostrar que
B no es equipotente con {1, · · · , n}. En otras palabras, basta demostrar lo siguiente:
Sea n ∈ N con n ≥ 1. Entonces {1, · · · , n} no es equipotente a ninguno de sus subconjuntos propios.
La prueba será por inducción en n.
Base de la inducción: Sea A un subconjunto propio de {1}. Entonces necesariamente A = ∅
y por consiguiente A ≈ {1}.
Paso inductivo: Supongamos que se cumple para n y lo mostraremos para n + 1. Sea A un
subconjunto propio de {1, · · · , n + 1}. Daremos una argumento indirecto por reducción al
absurdo. Supongamos que f : A → {1, · · · , n + 1} es una biyección. Hay dos casos posibles:
(1) Supongamos que n + 1 ∈ A. Como f es sobreyectiva existe a ∈ A tal que f (a) = n + 1.
Considere la siguiente función g : A \ {a} → {1, · · · , n} definida por
g(x) = f (x).
Observe que g está bien definida y es biyectiva. Como n + 1 ∈ A y a ≤ n entonces
A \ {a} es un subconjunto propio de {1, · · · , n}. Esto contradice la hipótesis inductiva.
(2) Supongamos que n + 1 ∈ A. Sea B = A \ {n + 1}. Entonces B es un subconjunto propio
de {1, · · · , n}. Definimos g : B → {1, · · · , n + 1} \ {f (n + 1)} de la manera siguiente
g(x) = f (x). Dejamos como ejercicio al lector verificar que g es una biyección. Esto
muestra que
B ≈ {1, · · · , n + 1} \ {f (n + 1)}.
La proposición 5.37 nos dice que
{1, · · · , n + 1} \ {f (n + 1)} ≈ {1, · · · , n}.
Como ≈ es transitiva (ver 5.19 (iii)) entonces concluimos que
B ≈ {1, · · · , n}.
Por ser B un subconjunto propio de {1, · · · , n} entonces la hipótesis inductiva nos
asegura que
B ≈ {1, · · · , n}.
Esto es una contradicción.
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El siguiente resultado nos dice que, desde el punto de vista del tamaño de los conjuntos,
N es el conjunto infinito más pequeño. Además nos da un método para mostrar que un
conjunto es infinito.