5.4. CONJUNTOS INFINITOS
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Paso inductivo:
Hipótesis inductiva: Supongamos que para todo subconjunto B ⊆ N con n elementos
se cumple que N ≈ (N \ B).
Sea ahora A ⊆ N un subconjunto con n + 1 elementos. Escojamos uno de ellos arbitrariamente, denotémoslo por a. Sea B = A \ {a}, entonces B tiene n elementos. Por
consiguiente,
N ≈ (N \ B).
Sea f : N → N \ B una biyección. Como a ∈ N \ B y f es biyectiva, entonces existe
un único k ∈ N tal que f (k) = a. Sea g : N \ {k} → N \ A la función definida por
g(x) = f (x). Entonces g es una biyección (¿por qué?) y por lo tanto
(N \ {k}) ≈ (N \ A).
De los probado en la base de la inducción, tenemos que
(N \ {k}) ≈ N.
Luego por la transitividad de ≈ concluimos que
(N \ A) ≈ N.
(ii) Mostraremos que si f : {1, 2, · · · , n} → N es una inyección, entonces f no es sobreyectiva. Y esto demuestra que N no es finito. Supongamos que f es una inyección como
se indicó arriba. Entonces rango(f ) es finito (pues {1, 2, · · · , n} ≈ rango(f )). Por la
parte (i) podemos concluir que
(N \ rango(f )) ≈ N.
En particular, N \ rango(f ) no es vacío, es decir, f no es sobreyectiva.
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El próximo resultado muestra que un conjunto finito no puede ser equipotente a un
subconjunto propio, pero antes necesitamos mostrar lo siguiente:
Proposición 5.37. Sea n ≥ 1 un natural. Para cada natural m con 1 ≤ m ≤ n + 1 se tiene
que {1, 2, · · · , n} es equipotente a {1, 2, · · · , n + 1} \ {m}.
Demostración: Considere la siguiente fun