CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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12. Para cada n ∈ N, sea
An = {n} × N
Bn = N × {n}.
De esta manera tenemos definidas dos familias indizadas {An }∞ y {Bn }∞ .
n=0
n=0
a) Muestre que An ∩ Am = ∅ si, y sólo si, n = m.
b) Determine A5 ∩ B2 . En general, determine An ∩ Bm .
c) Muestre que N × N =
d ) Determine
∞
n=0
∞
n=0
An
Bn
e) Considere que N × N es el conjunto universal y determine
∞
n=2
5.4.
An ∪
∞
c
Bn
n=3
Conjuntos infinitos
Un conjunto que no sea finito se dice que es infinito. Una gran parte de las matemáticas
está ligada al concepto de conjunto infinito (alguien alguna vez comparó la matemática con
una sinfonía del infinito). Una de las propiedades más importantes de un conjunto infinito es
la de poseer un subconjunto propio equipotente a él. Esto ya lo hemos observado en algunos
ejemplos, pues vimos que
Z ≈ N , R ≈ (0, +∞) , R ≈ (R \ {0}).
En esta sección estudiaremos algunas de la propiedades de los conjuntos infinitos. Lo primero
que mostraremos acerca de los conjuntos infinitos es que N es uno de ellos.
Teorema 5.36.
(i) Sea A ⊆ N finito, entonces (N \ A) ≈ N.
(ii) N es infinito.
Demostración:
(i) Si A es vacío el resultado es obvio. Para conjuntos no vacíos, haremos la demostración
por inducción en el número de elementos de A.
Base de la inducción: Supongamos que A tiene un elemento, es decir, A = {m} para
algún m ∈ N. Definimos f : N → N \ {m} de la siguiente manera:
f (n) =
n
, si n < m
n + 1 , si m ≤ n.
Dejamos al lector mostrar que f es inyectiva. Veamos que f es sobreyectiva. Sea k ∈
N \ {m}, entonces, hay dos casos a considerar: (1) Si k < m, entonces f (k) = k. (2)
Si m < k (recuerde que k no puede ser igual a m), entonces m ≤ k − 1 y por lo tanto
f (k − 1) = k.