CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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(A1 ∪ A2 ∪ A3 ) ∩ (B1 ∪ B2 ) = (A1 ∩ B1 ) ∪ (A1 ∩ B2 ) ∪ (A2 ∩ B1 ) ∪
(A2 ∩ B2 ) ∪ (A3 ∩ B1 ) ∪ (A3 ∩ B2 )
(A1 ∩ A2 ∩ A3 ) ∪ (B1 ∩ B2 ) = (A1 ∪ B1 ) ∩ (A1 ∪ B2 ) ∩ (A2 ∪ B1 ) ∩
(A2 ∪ B2 ) ∩ (A3 ∪ B1 ) ∩ (A3 ∪ B2 ).
Algo similar ocurre con las leyes de DeMorgan. Sea {Ai }n una familia indizada de subconi=1
juntos de un conjunto universal U , entonces
c
n
n
Ac
i
=
Ai
i=1
i=1
c
n
Ai
n
Ac .
i
=
i=1
i=1
Sea {Ai }i∈I una familia indizada de conjuntos, donde I es el conjunto de índices (recordemos que I no es necesariamente N, puede ser un subconjunto de N o quizá otro conjunto).
Cuando se trabaje con uniones e intersecciones generalizadas es importante tener presente
la siguientes observaciones que pueden ser consideradas una definición de los símbolos i Ai
y i Ai :
x∈
x∈
i∈I
i∈I
Ai si, y sólo si, existe i ∈ I tal que x ∈ Ai
Ai si, y sólo si, x ∈ Ai para todo i ∈ I.
Podemos expresar las leyes distributivas generalizadas usando una notación donde interviene el producto cartesiano. Sean {Ai }n y {Bj }m dos familias indizadas de conjuntos.
i=1
j=1
Denotaremos con I el conjunto {1, 2, · · · , n} y con J el conjunto {1, 2, · · · , m}. Entonces
tenemos que
n
[
i=1
m
Ai ] ∩ [
n
[
i=1
Bj ] =
j=1
(i,j)∈I×J
(Ai ∩ Bj )
m
Ai ] ∪ [
Bj ] =
j=1
(i,j)∈I×J
(Ai ∪ Bj )
Los cuantificadores son de uso muy frecuente en matemáticas. En muchos casos sirven
para abreviar expresiones que serían engorrosas de escribir de otra manera. Por ejemplo, sea
{Ai }i∈I una familia indizada de conjuntos, entonces