5.3. ALGUNOS EJEMPLOS IMPORTANTES
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Esta familia la podemos denotar de varias maneras
{Dn }∞
n=1
{Dn }n∈I
donde el conjunto de índices I es {n ∈ N : n ≥ 1} y el símbolo ∞ se lee “infinito” y
se sobrentiende que los índices son números naturales desde el 1 en adelante. Veamos
algunos de estos conjuntos
D1 = N
D2 = {k ∈ N : k es par}
D7 = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, · · · } = {7m : m ∈ N}.
Por ejemplo, tenemos que
5
i=2
Di = D 2 ∩ D 3 ∩ D 4 ∩ D 5
= {k ∈ N : k es divisible por 2, 3, 4, y 5}
= {k ∈ N : k es divisible por 60}.
Podemos también tomar la unión o la itersección de todos los conjuntos indizados. En
este caso escribiremos
∞
∞
Di
i=1
i=1
Notemos que
∞
Di = N
i=1
Di .
,
,
∞
i=1
Di = {0}.
2
Observación: El conjunto de índices no tiene porque consistir necesariamente de números.
En el ejercicio 6 el lector encontrará un ejemplo donde los índices son a su vez conjuntos.
Sean {Ai }n y {Bj }m dos familias indizadas la primera con n conjuntos y la segunda
j=1
i=1
con m conjuntos. Observe que hemos usado la letra j para denotar los índices de la segunda
familia, esto se hace para evitar confusiones entre los índices. Ahora podemos expresar las
generalizaciones de las leyes distributivas de la siguiente manera:
m
n
[
i=1
Ai ] ∩ [
n
[
i=1
Bj ] =
i=1,2,··· ,n ; j=1,2,··· ,m
j=1
(Ai ∩ Bj )
m
Ai ] ∪ [
Bj ] =
j=1
i=1,2,··· ,n ; j=1,2,··· ,m
(Ai ∪ Bj )
Los subíndices en el lado derecho de estas igualdades pueden parecer a primera vista
horrorosos. Más adelante veremos otra manera de escribir esta leyes con una mejor notación
para el lado derecho de las igualdades. Veamos que dicen estas leyes cuando n = 3 y m = 2