5.3. ALGUNOS EJEMPLOS IMPORTANTES
155
10. Sean A, B y C conjuntos. Muestre que
a) Si B ∩ C = ∅, entonces AB∪C ≈ AB × AC .
b) (A × B)C ≈ AC × B C .
C
c) (AB ) ≈ AB×C .
5.3.1.
Operaciones generalizadas
Vimos varios ejemplos de generalizaciones de algunas de las leyes del álgebra de conjuntos.
Por ejemplo,
A ∪ (B ∩ C ∩ D) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ∩ (A ∪ D).
Es natural esperar que algo similar se cumple si en lugar de tener 4 conjuntos tenemos 5. Es
decir,
A ∪ (B ∩ C ∩ D ∩ E) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ∩ (A ∪ D) ∩ (A ∪ E).
Para expresar leyes similares a éstas, donde intervengan colecciones arbitrarias de conjuntos,
usamos los subíndices. Por ejemplo, si tenemos n conjuntos (donde n es un número natural),
los denotaremos de la siguiente manera:
A1 , A2 , · · · , An−1 , An .
Los números 1, 2, .., n se llaman subíndices y juegan el papel de etiquetas y sirven para
distinguir los conjuntos. La colección A1 , A2 , · · · , An−1 , An se dice que es una colección indizada y el conjunto {1, 2, · · · , n} es el conjunto de índices de esta colección. Es común
que las familias indizadas se denoten por
{Ai }n .
i=1
El conjunto de índice depende del problema que se esté resolviendo como veremos en los
ejemplos.
La ley distributiva se puede expresar de manera general de la siguiente forma: sean A 1 ,
A2 · · · , An y B conjuntos, entonces se cumple
B ∪ (A1 ∩ · · · ∩ An ) = (B ∪ A1 ) ∩ · · · ∩ (B ∪ An ).
La demostración de este hecho se verá más adelante. La parte derecha de la expresión de
arriba también tiene una notación especial. Si A1 , · · · , An son conjuntos, entonces la unión
de todos ellos A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An se escribe
n
Ai
i=1
y la intersección A1 ∩ · · · ∩ An se escribe
n
Ai .
i=1