CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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4. Muestre que NZ ≈ NN .
(Sugerencia: Fije una biyección h : N → Z y defina H : NZ → NN de la manera
siguiente
H(f ) = f ◦ h.
Muestre que H es una biyección).
5. Use los teoremas 5.30, 5.32 y 5.34 para mostrar lo siguiente
a) NN × Z ≈ ZZ × N.
b) P(ZN ) ≈ P(NN ).
c) P(Q) × N ≈ Z × P(Q).
d ) (0, 1)R ≈ RR .
e) NP(N) ≈ ZP(Z) .
f ) P(P(Z) × R) ≈ P((0, 1) × P(N)).
6. Considere los siguientes conjuntos
A = {3n : n ∈ N} B = {5n + 2 : n ∈ N} C = {7n − 1 : n ∈ Z}.
Muestre que
a) A ≈ B, B ≈ C.
b) A × B ≈ B × N.
c) P(AN ) ≈ P(ZB ).
7. Muestre el teorema 5.30. Sean A, B, C y D tales que A ≈ B y C ≈ D. Entonces
A × C ≈ B × D.
(Sugerencia: Fije biyecciones f : A → B y g : C → D y defina F : A × C → B × D de
la manera siguiente
F ((a, c)) = (f (a), g(c))
Muestre que F es una biyección).
8. Muestre el teorema 5.32. Si X ≈ Y entonces P(X) ≈ P(Y ).
(Sugerencia: Dada una biyección f : X → Y , considere la función G : P(X) → P(Y )
definida por
G(C) = {f (c) : c ∈ C}.
Donde C ∈ P(X). Muestre que G es una biyección).
9.
a) Sean A, B y C conjuntos no vacíos tales que B ≈ C. Muestre que AB ≈ AC .
(Sugerencia: Imite lo hecho en el ejemplo 5.33).
b) Sean A, B y C conjuntos no vacíos tales que B ≈ C. Muestre que B A ≈ C A .
c) Use (a) y (b) para mostrar el teorema 5.34. Si A ≈ C y B ≈ D, entonces AB ≈ C D .