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CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD 152 El siguiente teorema es un resultado general relacionado con el ejemplo anterior. Teorema 5.30. Sean A, B, C y D tales que A ≈ B y C ≈ D. Entonces A × C ≈ B × D. 2 Ahora estudiaremos el conjunto potencia. Ejemplo 5.31. Mostraremos que P(N) ≈ P(Z). Fijemos f : N → Z una biyección. Definimos H : P(N) → P(Z) de la siguiente manera H(A) = {f (n) : n ∈ A}. Mostraremos que H es una biyección. (i) H es inyectiva. Sean A, B ⊆ N distintos, mostraremos que H(A) = H(B). Como A = B, hay dos casos a considerar. (a) Supongamos que existe x ∈ A \ B. Entonces, como f es inyectiva, concluimos que no existe y ∈ B tal que f (y) = f (x). Por lo tanto f (x) ∈ H(A) \ H(B). (b) Supongamos que existe x ∈ B \ A. Este caso lo dejaremos a cargo del lector, pues se hace de manera análoga al caso (a). (ii) H es sobreyectiva. Sea B ⊆ Z y consideremos el conjunto A = {n ∈ N : f (n) ∈ B}. Como f es sobreyectiva, tenemos que para todo y ∈ B existe x ∈ A tal que f (x) = y. Esto muestra que H(A) = B. 2 Un resultado general relacionado con el ejemplo anterior es el siguiente: Teorema 5.32. Si X ≈ Y , entonces P(X) ≈ P(Y ). 2 Ejemplo 5.33. Mostraremos que ZN ≈ N N . Como antes, fijemos una biyección h : N → Z. Considere la función H : NN → ZN definida por H(f ) = h ◦ f. Mostraremos que H es una biyección. (i) H es inyectiva. En efecto, sean f, f ∈ NN dos funciones distintas. Entonces existe n ∈ N tal que f (n) = f (n). Como h es inyectiva, entonces h(f (n)) = h(f (n)) y esto muestra que H(f ) = H(f ).