CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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El siguiente teorema es un resultado general relacionado con el ejemplo anterior.
Teorema 5.30. Sean A, B, C y D tales que A ≈ B y C ≈ D. Entonces
A × C ≈ B × D.
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Ahora estudiaremos el conjunto potencia.
Ejemplo 5.31. Mostraremos que
P(N) ≈ P(Z).
Fijemos f : N → Z una biyección. Definimos H : P(N) → P(Z) de la siguiente manera
H(A) = {f (n) : n ∈ A}.
Mostraremos que H es una biyección.
(i) H es inyectiva. Sean A, B ⊆ N distintos, mostraremos que H(A) = H(B). Como
A = B, hay dos casos a considerar.
(a) Supongamos que existe x ∈ A \ B. Entonces, como f es inyectiva, concluimos que
no existe y ∈ B tal que f (y) = f (x). Por lo tanto f (x) ∈ H(A) \ H(B).
(b) Supongamos que existe x ∈ B \ A. Este caso lo dejaremos a cargo del lector, pues
se hace de manera análoga al caso (a).
(ii) H es sobreyectiva. Sea B ⊆ Z y consideremos el conjunto A = {n ∈ N : f (n) ∈ B}.
Como f es sobreyectiva, tenemos que para todo y ∈ B existe x ∈ A tal que f (x) = y.
Esto muestra que H(A) = B.
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Un resultado general relacionado con el ejemplo anterior es el siguiente:
Teorema 5.32. Si X ≈ Y , entonces P(X) ≈ P(Y ).
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Ejemplo 5.33. Mostraremos que
ZN ≈ N N .
Como antes, fijemos una biyección h : N → Z. Considere la función H : NN → ZN definida
por
H(f ) = h ◦ f.
Mostraremos que H es una biyección.
(i) H es inyectiva. En efecto, sean f, f ∈ NN dos funciones distintas. Entonces existe
n ∈ N tal que f (n) = f (n). Como h es inyectiva, entonces h(f (n)) = h(f (n)) y esto
muestra que H(f ) = H(f ).