5.3. ALGUNOS EJEMPLOS IMPORTANTES
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b) R \ {0, 1} ≈ R \ {0, 1, 2}
c) R \ {−1} ≈ R \ {0, 1}
d ) R \ {0, 1, 3} ≈ R \ {5, 2}
e) Q \ {0, 1} ≈ Q \ {0, 1, 2}
9. Muestre que (−1, 1) ≈ R.
(Sugerencia: Muestre que la función f : (−1, 1) → R dada por f (x) =
va).
x
x2 −1
es biyecti-
10. Muestre que (−1, 1) ≈ [−1, 1].
(Sugerencia: Muestre que (−1, 1) ≈ R \ {0, 1} y después agréguele los puntos 1 y −1).
11. Muestre que [a, b] ≈ (a, b) para todo a, b ∈ R con a < b.
5.3.
Algunos ejemplos importantes
Sean A y B conjuntos. Denotaremos por B A al conjunto de todas las funciones de A en
B. En esta sección nos ocuparemos en estudiar, desde el punto de vista que nos da la relación
de equipotencia, los conjuntos
A×B ,
P(A) , B A .
Comenzaremos por el producto cartesiano.
Ejemplo 5.29. Mostraremos que
N × N ≈ Z × Z.
Como N ≈ Z (ver el ejemplo 5.21), fijemos una biyección f : N → Z. Definimos H : N × N →
Z × Z de la siguiente manera
H((n, m)) = (f (n), f (m)).
Mostraremos que H es una biyección.
(i) H es inyectiva. Sea (n, m), (n , m ) dos pares ordenados en N × N y supongamos que
H(n, m) = H(n , m ). Mostraremos que (n, m) = (n .m ). En efecto, por la definición
de H tenemos que (f (n), f (m)) = (f (n ), f (m )). Por lo tanto f (n) = f (n ) y f (m) =
f (m ). Como f es inyectiva, concluimos que n = n y m = m .
(ii) H es sobreyectiva. Sea (k, l) ∈ Z × Z. Mostraremos que existe (n, m) ∈ N × N tal
que f (n, m) = (k, l). En efecto, como f es sobreyectiva, existen n, m ∈ N tales que
f (n) = k y f (m) = l. Es fácil verificar que H(n, m) = (k, l).
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