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5.3. ALGUNOS EJEMPLOS IMPORTANTES 151 b) R \ {0, 1} ≈ R \ {0, 1, 2} c) R \ {−1} ≈ R \ {0, 1} d ) R \ {0, 1, 3} ≈ R \ {5, 2} e) Q \ {0, 1} ≈ Q \ {0, 1, 2} 9. Muestre que (−1, 1) ≈ R. (Sugerencia: Muestre que la función f : (−1, 1) → R dada por f (x) = va). x x2 −1 es biyecti- 10. Muestre que (−1, 1) ≈ [−1, 1]. (Sugerencia: Muestre que (−1, 1) ≈ R \ {0, 1} y después agréguele los puntos 1 y −1). 11. Muestre que [a, b] ≈ (a, b) para todo a, b ∈ R con a < b. 5.3. Algunos ejemplos importantes Sean A y B conjuntos. Denotaremos por B A al conjunto de todas las funciones de A en B. En esta sección nos ocuparemos en estudiar, desde el punto de vista que nos da la relación de equipotencia, los conjuntos A×B , P(A) , B A . Comenzaremos por el producto cartesiano. Ejemplo 5.29. Mostraremos que N × N ≈ Z × Z. Como N ≈ Z (ver el ejemplo 5.21), fijemos una biyección f : N → Z. Definimos H : N × N → Z × Z de la siguiente manera H((n, m)) = (f (n), f (m)). Mostraremos que H es una biyección. (i) H es inyectiva. Sea (n, m), (n , m ) dos pares ordenados en N × N y supongamos que H(n, m) = H(n , m ). Mostraremos que (n, m) = (n .m ). En efecto, por la definición de H tenemos que (f (n), f (m)) = (f (n ), f (m )). Por lo tanto f (n) = f (n ) y f (m) = f (m ). Como f es inyectiva, concluimos que n = n y m = m . (ii) H es sobreyectiva. Sea (k, l) ∈ Z × Z. Mostraremos que existe (n, m) ∈ N × N tal que f (n, m) = (k, l). En efecto, como f es sobreyectiva, existen n, m ∈ N tales que f (n) = k y f (m) = l. Es fácil verificar que H(n, m) = (k, l). 2