CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
150
a) Muestre que R \ {2} ≈ R \ {5}.
b) Muestre que R \ {2, 1} ≈ R \ {1, −1}.
c) Muestre que Q \ {2, 1} ≈ Q \ {1, −1}.
d ) Sean a, b ∈ R muestre que R \ {a} ≈ R \ {b}.
e) Sean a, b, c, d ∈ R con a = b y c = d. Muestre que R \ {a, b} ≈ R \ {c, d}
3. Considere la función f : (0, +∞) → R definida por partes
f (x) =
1
x
, si 0 < x < 1
2 − x , si 1 ≤ x.
Muestre que f es biyectiva.
4.
a) Muestre que (−1, 1) ≈ (3, 5) y [−1, 1] ≈ [3, 5]. (Sugerencia: Use la función dada
en el ejercicio 2).
b) Muestre que (−1, 6] ≈ (2, 8].
c) Muestre que [−1, 6) ≈ (2, 8].
d ) Muestre que, en general, dados a, b, c, d ∈ R con a < b y c < d se tiene que
(a, b) ≈ (c, d) y [a, b] ≈ [c, d]. ¿Cuáles otras variantes de esta pregunta se le ocurre
son válidas?
5.
a) Muestre que (1, +∞) ≈ (0, +∞) .(Sugerencia: Considere la función f (x) = x−1).
b) Muestre que (1, +∞) ≈ (−∞, 0).
c) Muestre que (−∞, 6] ≈ (−∞, 10].
d ) Muestre que (−∞, 6] ≈ [10, +∞).
e) Muestre que R ≈ (−∞, 0).
f ) Muestre que, en general, para cada a, b ∈ R se tiene que (a, +∞) ≈ (b, +∞).
¿Cuáles otras variantes se le ocurre son válidas?
6.
a) Muestre que (0, +∞) ≈ (0, 1). (Sugerencia: Considere la función f (x) =
b) Muestre que (4, +∞) ≈ (0, 1).
c) Muestre que (4, +∞) ≈ (3, 5).
7. Considere la función f : R → R definida por partes de la manera siguiente
f (x) =
x
, si x ∈ N
x + 1 , si x ∈ N.
Muestre que f es inyectiva y que rango(f ) = R \ {0}.
8. Use la idea del ejemplo 5.25 para mostrar lo siguiente
a) R \ {0} ≈ R \ {0, 1}
1
x
− 1).