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CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD 150 a) Muestre que R \ {2} ≈ R \ {5}. b) Muestre que R \ {2, 1} ≈ R \ {1, −1}. c) Muestre que Q \ {2, 1} ≈ Q \ {1, −1}. d ) Sean a, b ∈ R muestre que R \ {a} ≈ R \ {b}. e) Sean a, b, c, d ∈ R con a = b y c = d. Muestre que R \ {a, b} ≈ R \ {c, d} 3. Considere la función f : (0, +∞) → R definida por partes f (x) = 1 x , si 0 < x < 1 2 − x , si 1 ≤ x. Muestre que f es biyectiva. 4. a) Muestre que (−1, 1) ≈ (3, 5) y [−1, 1] ≈ [3, 5]. (Sugerencia: Use la función dada en el ejercicio 2). b) Muestre que (−1, 6] ≈ (2, 8]. c) Muestre que [−1, 6) ≈ (2, 8]. d ) Muestre que, en general, dados a, b, c, d ∈ R con a < b y c < d se tiene que (a, b) ≈ (c, d) y [a, b] ≈ [c, d]. ¿Cuáles otras variantes de esta pregunta se le ocurre son válidas? 5. a) Muestre que (1, +∞) ≈ (0, +∞) .(Sugerencia: Considere la función f (x) = x−1). b) Muestre que (1, +∞) ≈ (−∞, 0). c) Muestre que (−∞, 6] ≈ (−∞, 10]. d ) Muestre que (−∞, 6] ≈ [10, +∞). e) Muestre que R ≈ (−∞, 0). f ) Muestre que, en general, para cada a, b ∈ R se tiene que (a, +∞) ≈ (b, +∞). ¿Cuáles otras variantes se le ocurre son válidas? 6. a) Muestre que (0, +∞) ≈ (0, 1). (Sugerencia: Considere la función f (x) = b) Muestre que (4, +∞) ≈ (0, 1). c) Muestre que (4, +∞) ≈ (3, 5). 7. Considere la función f : R → R definida por partes de la manera siguiente f (x) = x , si x ∈ N x + 1 , si x ∈ N. Muestre que f es inyectiva y que rango(f ) = R \ {0}. 8. Use la idea del ejemplo 5.25 para mostrar lo siguiente a) R \ {0} ≈ R \ {0, 1} 1 x − 1).