Matematicas | Page 155

5.2. CONJUNTOS EQUIPOTENTES 149 2 Existen otras pruebas del resultado anterior. Mostraremos a continuación otra que es fácil de visualizar. Comenzaremos representado los elementos de N × N de la siguiente forma cuadrangular: (0, 0), (0, 1), · · · , (0, s), · · · (1, 0), (1, 1), · · · , (1, s), · · · . . . . . . . . . (s, 0), (s, 1), · · · , (s, s), · · · . . . . . . . . . Considere ahora el siguiente arreglo (que sigue las diagonales del anterior). (0, 0) (1, 0), (0, 1) ·················· (s, 0), (s − 1, 1), · · · , (0, s) ································· Este arreglo sugiere una manera de ordenar los elementos de N × N. Siguiendo lo indicado en el diagrama podemos “contar” N × N. El orden del conteo sería (0, 0), (1, 0), (0, 1), (2, 0), (1, 1), (0, 2) · · · Es decir, considere la función g que asigna a (0, 0) el número 1; a (1, 0) y (0, 1) los números 2 y 3 respectivamente; a (2, 0), (1, 1) y (0, 2) los números 4, 5 y 6 respectivamente, etc. La biyección que corresponde a esta manera de contar N × N viene dada por la siguiente fórmula: (a + b + 1)(a + b) g(a, b) = + b. 2 Dejamos al lector interesado la tarea de mostrar que g es una biyección. Ejercicios 5.2 1. Considere la función f : N → Z definida por f (n) = n 2 − n+1 2 , si n es par , si n es impar. Muestre que f es una biyección. 2. Sean a, b, c, d ∈ R con a = b y c = d. Considere la función f (x) = c−d (x − b) + d. a−b Muestre que f es biyectiva, f (a) = c y f (b) = d. Use esta función para responder las siguientes preguntas. Escoja adecuadamente los valores de a, b, c y d e imite lo hecho en el ejemplo 5.26.