5.2. CONJUNTOS EQUIPOTENTES
149
2
Existen otras pruebas del resultado anterior. Mostraremos a continuación otra que es
fácil de visualizar. Comenzaremos representado los elementos de N × N de la siguiente forma
cuadrangular:
(0, 0), (0, 1), · · · , (0, s), · · ·
(1, 0), (1, 1), · · · , (1, s), · · ·
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(s, 0), (s, 1), · · · , (s, s), · · ·
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Considere ahora el siguiente arreglo (que sigue las diagonales del anterior).
(0, 0)
(1, 0), (0, 1)
··················
(s, 0), (s − 1, 1), · · · , (0, s)
·································
Este arreglo sugiere una manera de ordenar los elementos de N × N. Siguiendo lo indicado
en el diagrama podemos “contar” N × N. El orden del conteo sería
(0, 0), (1, 0), (0, 1), (2, 0), (1, 1), (0, 2) · · ·
Es decir, considere la función g que asigna a (0, 0) el número 1; a (1, 0) y (0, 1) los números
2 y 3 respectivamente; a (2, 0), (1, 1) y (0, 2) los números 4, 5 y 6 respectivamente, etc.
La biyección que corresponde a esta manera de contar N × N viene dada por la siguiente
fórmula:
(a + b + 1)(a + b)
g(a, b) =
+ b.
2
Dejamos al lector interesado la tarea de mostrar que g es una biyección.
Ejercicios 5.2
1. Considere la función f : N → Z definida por
f (n) =
n
2
− n+1
2
, si n es par
, si n es impar.
Muestre que f es una biyección.
2. Sean a, b, c, d ∈ R con a = b y c = d. Considere la función
f (x) =
c−d
(x − b) + d.
a−b
Muestre que f es biyectiva, f (a) = c y f (b) = d. Use esta función para responder las
siguientes preguntas. Escoja adecuadamente los valores de a, b, c y d e imite lo hecho
en el ejemplo 5.26.