CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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1. Mostraremos que R \ {3} ≈ R \ {10}. En efecto, sea g : R \ {3} → R dada por g(x) =
3x+1. Como f es inyectiva, entonces g también lo es. Notemos que rango(g) = R\{10},
pues f (3) = 10. Luego por la proposición 5.24 concluimos que R \ {3} ≈ R \ {10}.
2. Un argumento completamente análogo muestra que para todo r ∈ R se tiene que
R \ {r} ≈ R \ {f (r)}
3. Mostraremos que
(−1, 3) ≈ (−2, 10).
En efecto, consideremos la función h : (−1, 3) → R definida por h(x) = 3x + 1.
Como en la parte (1) tenemos que h es inyectiva. Dejamos como ejercicio verificar que
rango(h) = (−2, 10). Por la proposición 5.24 concluimos que (−1, 3) ≈ (−2, 10).
Un argumento completamente análogo muestra que [−1, 3] ≈ [−2, 10].
4. Mostraremos que
(−∞, 3) ≈ (−∞, 10).
En efecto, consideremos la función j : (−∞, 3) → R definida por j(x) = 3x + 1.
Como f es inyectiva, entonces j también lo es. Dejamos como ejercicio verificar que
rango(j) = (−∞, 10). Por la proposición 5.24, concluimos que (−∞, 3) ≈ (−∞, 10).
2
Ejemplo 5.27. Usando una recta se puede mostrar que R \ {a} ≈ R \ {b} para todo par de
reales a, b (ver ejercicio 2).
El siguiente resultado es importante.
Teorema 5.28. N × N ≈ N.
Demostración: Definimos f : N × N → N de la siguiente manera
f ((a, b)) = 2a (2b + 1) − 1.
Mostraremos que f es una biyección. Sea n ∈ N y a el mayor natural tal que 2a divide a
n + 1 (a puede ser cero). Por lo tanto n+1 es impar, y en consecuencia existe un natural b
2a
tal que n+1 = 2b + 1. Tenemos que
2a
n + 1 = 2a (2b + 1)
y en consecuencia f ((a, b)) = n. Esto muestra que f es sobreyectiva.
Para ver que f es inyectiva, supongamos que a, a , b, b ∈ N y
2a (2b + 1) = 2a (2b + 1).
Como 2b + 1 y 2b + 1 son impares, entonces necesariamente 2a divide a 2a y viceversa. Por
lo tanto 2a = 2a , de esto se concluye que a = a y además que 2b + 1 = 2b + 1. Por lo tanto,
b=b.