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CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD 148 1. Mostraremos que R \ {3} ≈ R \ {10}. En efecto, sea g : R \ {3} → R dada por g(x) = 3x+1. Como f es inyectiva, entonces g también lo es. Notemos que rango(g) = R\{10}, pues f (3) = 10. Luego por la proposición 5.24 concluimos que R \ {3} ≈ R \ {10}. 2. Un argumento completamente análogo muestra que para todo r ∈ R se tiene que R \ {r} ≈ R \ {f (r)} 3. Mostraremos que (−1, 3) ≈ (−2, 10). En efecto, consideremos la función h : (−1, 3) → R definida por h(x) = 3x + 1. Como en la parte (1) tenemos que h es inyectiva. Dejamos como ejercicio verificar que rango(h) = (−2, 10). Por la proposición 5.24 concluimos que (−1, 3) ≈ (−2, 10). Un argumento completamente análogo muestra que [−1, 3] ≈ [−2, 10]. 4. Mostraremos que (−∞, 3) ≈ (−∞, 10). En efecto, consideremos la función j : (−∞, 3) → R definida por j(x) = 3x + 1. Como f es inyectiva, entonces j también lo es. Dejamos como ejercicio verificar que rango(j) = (−∞, 10). Por la proposición 5.24, concluimos que (−∞, 3) ≈ (−∞, 10). 2 Ejemplo 5.27. Usando una recta se puede mostrar que R \ {a} ≈ R \ {b} para todo par de reales a, b (ver ejercicio 2). El siguiente resultado es importante. Teorema 5.28. N × N ≈ N. Demostración: Definimos f : N × N → N de la siguiente manera f ((a, b)) = 2a (2b + 1) − 1. Mostraremos que f es una biyección. Sea n ∈ N y a el mayor natural tal que 2a divide a n + 1 (a puede ser cero). Por lo tanto n+1 es impar, y en consecuencia existe un natural b 2a tal que n+1 = 2b + 1. Tenemos que 2a n + 1 = 2a (2b + 1) y en consecuencia f ((a, b)) = n. Esto muestra que f es sobreyectiva. Para ver que f es inyectiva, supongamos que a, a , b, b ∈ N y 2a (2b + 1) = 2a (2b + 1). Como 2b + 1 y 2b + 1 son impares, entonces necesariamente 2a divide a 2a y viceversa. Por lo tanto 2a = 2a , de esto se concluye que a = a y además que 2b + 1 = 2b + 1. Por lo tanto, b=b.