5.2. CONJUNTOS EQUIPOTENTES
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Ejemplo 5.23. Considere la siguiente función f : (0, +∞) → R definida por partes
1
x
, si 0 < x < 1
2 − x , si 1 ≤ x.
f (x) =
Dejamos como ejercicio al lector mostrar que f es biyectiva. Tenemos entonces que
(0, +∞) ≈ R.
2
El siguiente resultado será usado con bastante frecuencia.
Proposición 5.24. Sea f : A → B una función inyectiva. Entonces A ≈ rango(f ).
Demostración. Restringiendo el contradominio de f y dejando la misma ley de correspondencia obtenemos la función g : A → rango(f ) dada por g(x) = f (x). Entonces g es biyectiva.
2
Ejemplo 5.25. Considere la función f : R → R definida por partes de la manera siguiente
x
, si x ∈ N
x + 1 , si x ∈ N.
f (x) =
Dejamos como ejercicio verificar que f es inyectiva y además que rango(f ) = R \ {0} (ver
ejercicio 7). Usando la proposición 5.24 concluimos que
R ≈ R \ {0}.
Analizemos lo que se ha hecho en este ejemplo. Considere la función g : N → N \ {0} dada
por g(x) = x + 1. Se puede verificar que g es biyectiva. Ahora notemos que
R
↓f
=
N
∪ (R \ N)
↓g
↓1
R \ {0} = (N \ {0}) ∪ (R \ N)
La función f se definió por partes, en N usamos g y en R \ N usamos la identidad.
2
Ejemplo 5.26. Considere la función
f :R→R
dada por
f (x) = 3x + 1.
Como el lector seguramente sabe, la gráfica de f es una recta. Es fácil verificar que f es
inyectiva. Usaremos esta función para construir varios ejemplos de conjuntos equipotentes.