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5.2. CONJUNTOS EQUIPOTENTES 147 Ejemplo 5.23. Considere la siguiente función f : (0, +∞) → R definida por partes 1 x , si 0 < x < 1 2 − x , si 1 ≤ x. f (x) = Dejamos como ejercicio al lector mostrar que f es biyectiva. Tenemos entonces que (0, +∞) ≈ R. 2 El siguiente resultado será usado con bastante frecuencia. Proposición 5.24. Sea f : A → B una función inyectiva. Entonces A ≈ rango(f ). Demostración. Restringiendo el contradominio de f y dejando la misma ley de correspondencia obtenemos la función g : A → rango(f ) dada por g(x) = f (x). Entonces g es biyectiva. 2 Ejemplo 5.25. Considere la función f : R → R definida por partes de la manera siguiente x , si x ∈ N x + 1 , si x ∈ N. f (x) = Dejamos como ejercicio verificar que f es inyectiva y además que rango(f ) = R \ {0} (ver ejercicio 7). Usando la proposición 5.24 concluimos que R ≈ R \ {0}. Analizemos lo que se ha hecho en este ejemplo. Considere la función g : N → N \ {0} dada por g(x) = x + 1. Se puede verificar que g es biyectiva. Ahora notemos que R ↓f = N ∪ (R \ N) ↓g ↓1 R \ {0} = (N \ {0}) ∪ (R \ N) La función f se definió por partes, en N usamos g y en R \ N usamos la identidad. 2 Ejemplo 5.26. Considere la función f :R→R dada por f (x) = 3x + 1. Como el lector seguramente sabe, la gráfica de f es una recta. Es fácil verificar que f es inyectiva. Usaremos esta función para construir varios ejemplos de conjuntos equipotentes.