CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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(iii) Supongamos que A ≈ B y B ≈ C y sean f : A → B y g : B → C biyecciones. Como
la composición de funciones biyectivas es biyectiva (ver el teorema 4.37), entonces la
función g ◦ f : A → C es una biyección. Por lo tanto A ≈ C.
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Notemos que la definición que diéramos de conjunto finito (ver 5.1) podemos también
expresarla de la siguiente manera:
Un conjunto A tiene n elementos (con n ≥ 1) si A es equipotente con {1, 2, · · · , n}.
Ejemplo 5.20. Considere los siguientes conjuntos
P = {2n : n ∈ N}
I = {2n + 1 : n ∈ N}.
P consiste de todos los números naturales pares e I de los naturales impares. Considere la
función
f :N→P
definida por
f (n) = 2n.
Dejamos al lector la fácil tarea de verificar que f es biyectiva. Esto muestra que N ≈ P .
De manera similar, para el conjunto I considere la función g : N → I dada por g(n) =
2n + 1. Al igual que antes, es fácil verificar que g es una biyección y por lo tanto N ≈ I. Por
el teorema 5.19, ≈ es simétrica y transitiva y por lo tanto podemos concluir que P ≈ I.
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Ejemplo 5.21. Considere la función f : N → Z definida por
f (n) =
n
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, si n es par
− n+1 , si n es impar.
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Dejamos como un ejercicio al lector la verificación que f es una biyección (ver ejercicio 1).
Por lo tanto
N ≈ Z.
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Ejemplo 5.22. Considere la función f : R \