5.2. CONJUNTOS EQUIPOTENTES
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a) B es igual a P({1, 2, 3 · · · , k})
b) A ∩ B = ∅
c) P({1, 2, 3 · · · , k + 1}) = A ∪ B.
15. Complete la demostración del teorema 5.14.
(Sugerencia: Para ver que f es sobreyectiva, dado X ∈ A, es decir, X ⊆ {1, 2, 3 · · · , k + 1}
y además k + 1 ∈ X. Considere Y = X \ {k + 1} y verifique que Y ∈ B. Muestre que
f (Y ) = X).
16. Sean A, B y C tres conjuntos finitos con |A| = n, |B| = m y |C| = p. Muestre que
|A × B × C| = n · m · p.
(Sugerencia: Halle una biyección entre A × B × C y (A × B) × C. Y use el teorema
5.16).
17. Complete la desmotración del teorema 5.15.
(Sugerencia: Usando que f es inyectiva, muestre que si B, B ⊆ {1, 2, · · · , n} con B =
B , entonces g(B) = g(B ). Para ver que g es sobreyectiva, considere un subconjunto C
de A cualquiera. Verifique que el conjunto B definido por {a ∈ {1, 2, · · · , n} : f (a) ∈ C}
satisface que g(B) = C (para probarlo hará falta usar que f es sobreyectiva).
5.2.
Conjuntos equipotentes
Sean A y B dos conjuntos. Supongamos que existe una función f : A → B biyectiva.
Si A y B son finitos, ya vimos en la sección anterior que esto significa que A y B tienen
el mismo número de elementos. Usaremos esta idea para definir cuándo dos conjuntos (no
necesariamente finitos) tienen el mismo tamaño.
Definición 5.18. Dos conjuntos A y B se dicen que son equipotentes , si existe una función
biyectiva f : A → B. En este caso escribiremos A ≈ B.
Cuando dos conjuntos A y B no sean equipotentes escribiremos A ≈ B. Antes de dar
algunos ejemplos mostraremos que la relación ≈ es reflexiva, simétrica y transitiva.
Teorema 5.19. Sean A, B, C conjuntos. Entonces
(i) A ≈ A.
(ii) Si A ≈ B, entonces B ≈ A.
(iii) Si A ≈ B y B ≈ C, entonces A ≈ C.
Demostración:
(i) La función identidad 1A : A → A es una biyección.
(ii) Supongamos que A ≈ B y sea f : A → B una biyección. Entonces f tiene inversa y
f −1 : B → A también es una biyección. Lo que muestra que B ≈ A.