CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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8. Sean A1 , A2 , · · · , An conjuntos finitos y disjuntos dos a dos. Demuestre que
|A1 ∪ · · · ∪ An | = |A1 | + · · · + |An |.
(Sugerencia: Use inducción en n y siga un razonamiento similar al usado en la demostración del teorema 5.5).
9. Muestre que si A es finito y B ⊆ A, entonces B es finito y además se cumple que
|B| ≤ |A|.
Este es un ejemplo, de cómo una afirmación de naturaleza sencilla, requiere un argumento complicado para demostrarla rigurosamente.
(Sugerencia: Sea n el número de elementos de A. Haga la prueba por inducción en n.
Si n es cero, entonces A es vacío y por lo tanto B = ∅. Para el paso inductivo, sea A
un conjunto con n + 1 elementos y f : {1, 2, · · · , n + 1} → A una biyección. Considere
dos casos: (a) f (n + 1) ∈ B y (b) f (n + 1) ∈ B. Para el caso (a), verifique que
A − {f (n + 1)} tiene n elementos y que B ⊆ A − {f (n + 1)}. Use la hipótesis inductiva
para concluir que B es finito y que |B| ≤ n. Para el caso (b), considere el conjunto
C = B − {f (n + 1)}. Verifique que C ⊆ A − {f (n + 1)} y por el caso (a) concluya que
C es finito y además que |C| ≤ n. Para finalizar, verifique que B = C ∪ {f (n + 1)} y
use el teorema 5.3 para concluir que |B| = |C| + 1.)
10. Demuestre el teorema 5.8.
(Sugerencia: Observe que A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C. Use ahora el teorema 5.1 y exprese
|A ∪ B ∪ C| en términos de |A ∪ B|, |(A ∪ B) ∩ C| y |C|. Use de nuevo el teorema 5.1
para calcular |A ∪ B| y |(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)| ).
a) Demuestre la fórmula dada en la observación 5.10.
11.
b) Halle una fórmula para calcular
|A ∪ B ∪ C ∪ D ∪ E|.
12. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. Determine
|A ∪ B|
|A ∩ B|
|P(A) ∩ P(B)| |P(A × B)|
|A B|
|P(A)|
|A × B|
|P(P(P(A)))| |P(A × P(B))| |A × P(P(B))|
13. Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c, d} y C = {1, 3, 5}. Calcule |A × B × C|.
14. Considere los siguientes conjuntos
A = {X ∈ P({1, 2, 3 · · · , k + 1}) : k + 1 ∈ X}
y
B = {X ∈ P({1, 2, 3 · · · , k + 1}) : k + 1 ∈ X}.
Verifique las siguientes afirmaciones: