5.1. CONJUNTOS FINITOS Y MÉTODOS DE CONTEO
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1. Determine si los siguientes conjuntos son finitos y en caso de serlo diga cuantos elementos tiene.
a) {n ∈ N : La suma de las cifras de n es igual a 5}
√
1
b) {n ∈ N : 4 + n > 17}
c) {n ∈ N :
3n+1
4n+2
<
29
}
40
2. En un grupo de 150 personas, hay 75 que nadan, 50 montan bicicleta y 80 trotan;
y algunos que no hacen ninguna de estas 3 actividades. Además, en el grupo hay
32 personas que trotan pero no andan en bicicleta, 27 que trotan y nadan y 10 que
practican los tres deportes.
a) ¿Cuántas personas solamente trotan (es decir, trotan pero ni nadan ni andan en
bicicleta)?
b) Si 21 personas andan en bicicleta y nadan ¿Cuántas no realizan ninguna de las
tres actividades?
(Sugerencia: Haga un diagrama de Venn).
3. De 200 personas, 150 trotan o nadan (pudieran hacer las dos cosas). Si 85 nadan y 60
hacen las dos actividades ¿cuántas trotan?
4. Una bolsa contiene 50 metras de cuatro colores distintos. Explique por qué debe haber
al menos 13 metras del mismo color.
5. Suponga que se colocan 73 metras en ocho cajas.
a) Muestre que una caja debe contener al menos 10 metras.
b) Muestre que si dos de las cajas están vacías, entonces alguna caja contiene al
menos 13 metras.
6. Encuentre el número de enteros en {1, 2, · · · , 1000} que sean divisibles por 4, 5 ó 7.
(Sugerencia: Vea el ejemplo 5.9).
7. Sean A y B dos conjuntos disjuntos tales que A tiene n elementos y B tiene m elementos. Sean f : {1, 2, 3, · · · , n} → A y g : {1, 2, 3, · · · , m} → B funciones biyectivas.
Defina h : {1, 2, · · · , n + m} → (A ∪ B) de la manera siguiente:
h(x) =
f (x)
, si 1 ≤ x ≤ n
g(x − n) , si n + 1 ≤ x ≤ n + m.
Muestre que h es una biyección.
(