CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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Teorema 5.16. Sean A y B dos conjuntos finitos, entonces el producto cartesiano A × B
es finito y se cumple que
|A × B| = |A| · |B|
Demostración: Para facilitar la presentación, enumeraremos los elementos de A de la siguiente
manera:
A = {x1 , x2 , · · · , xn },
donde n es el número de elementos de A. Para cada i ∈ {1, · · · , n} definimos el conjunto D i
como
Di = {xi } × B.
Dejamos al lector la tarea de verificar que
A × B = D 1 ∪ D2 ∪ · · · ∪ D n .
Observemos que si i = j, entonces Di y Dj son disjuntos (¿por qué?). Por lo tanto, podemos
hacer uso de la versión generalizada del teorema 5.5 (ver el comentario que sigue al teorema
5.5 y el ejercicio 8) y concluir que
|A × B| = |D1 | + |D2 | + · · · + |Dn |.
Usando el teorema 5.11 tenemos que, para cada i, |Di | = |B| (¿Cuál es la biyección que hace
falta para poder usar el teorema 5.11?). Así que en la suma anterior tenemos |B| repetido n
veces. En otras palabras,
|A × B| = n · |B| = |A| · |B|.
Esto era lo que queríamos demostrar.
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Ejemplo 5.17. Considere el conjunto
S = {100, 101, 102, · · · , 999}.
Observemos que |S| = 900. ¿Cuántos números en S tienen un 3 en la primera cifra? Reflexionando un poco vemos que existe 100 de esos números. Podemos también responder esta
pregunta usando el teorema 5.16. Los números que estamos buscando tienen la forma 3ab,
donde a, b son dígitos entre 0 y 9 (ambos incluidos). Por el teorema 5.16 sabemos que existen
102 pares ordenados de la forma (a, b) con a, b ∈ {0, 1, · · · , 9}. Cada par (a, b) nos proporciona uno de los números buscados, precisamente el número 3ab. Y recíprocamente, a cada
número de la forma 3ab le corresponde el par (a, b). Esto muestra que la función (a, b) → 3ab
es una biyección entre {0, 1, · · · , 9} × {0, 1, · · · , 9} y el conjunto al que le estamos determinando la cardinalidad. Usando el teorema 5.11 concluimos que existen 100 números de la
forma 3ab.
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Ejercicios 5.1