5.1. CONJUNTOS FINITOS Y MÉTODOS DE CONTEO
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Teorema 5.7. Sean A y B conjuntos finitos, entonces se cumple que
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Demostración: Comencemos observando que
A ∪ B = (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B \ A)
y además que
(A ∩ B) ∩ (A \ B) = ∅
(A ∩ B) ∩ (B \ A) = ∅
(A \ B) ∩ (B \ A) = ∅.
Es decir, cada par de estos tres conjuntos son disjuntos. Ya que A ∩ B ⊆ A, A \ B ⊆ A y
B \ A ⊆ B, entonces cada uno de ellos es finito (por el teorema 5.6). Podemos ahora usar el
teorema 5.5 y concluir que
|A ∪ B| = |A \ B| + |A ∩ B| + |B \ A|.
(5.1)
Observe que A \ B y B ∩ A son disjuntos, es decir
(A \ B) ∩ (A ∩ B) = ∅
y además que
A = (A ∩ B) ∪ (A \ B).
Ya que A \ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ A, entonces ambos son conjuntos finitos (por el teorema 5.6).
Por lo tanto por el teorema 5.3 tenemos que
|A| = |A ∩ B| + |A \ B|.
(5.2)
Análogamente para el conjunto B tenemos que
|B| = |A ∩ B| + |B \ A|.
(5.3)
Sumando las igualdades dadas en (5.2) y (5.3) obtenemos que
|A| + |B| = |A ∩ B| + |A \ B| + |A ∩ B| + |B \ A|.
Comparando con (5.1) obtenemos
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
y ésta es la ecuación buscada.
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El resultado anterior se puede generalizar para tres o más conjuntos finitos. Este resultado
se conoce como el principio de inclusión y exclusión.