CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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Teorema 5.8. (Principio de inclusión y exclusión) Sean A, B y C tres conjuntos finitos,
entonces A ∪ B ∪ C es finito y además se cumple que
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
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La utilidad de este resultado reside en que en general es más fácil contar el número de
elementos de la intersección de conjuntos que el de la unión de conjuntos. En el ejercicio 10
el lector encontrará algunas indicaciones de como demostrar este resultado.
Ejemplos 5.9. ¿Cuántos enteros del conjunto S = {1, 2, 3, · · · , 1000} son divisibles por 3 o
5? Definimos dos conjuntos D3 y D5 de la siguiente manera
D3 = {n ∈ S : n es divisible por 3} y D5 = {n ∈ S : n es divisible por 5}.
Estamos buscando el número de elementos de D3 ∪D5 . Haciendo uso del teorema 5.7 bastaría
que consiguiéramos |D3 |, |D5 | y |D3 ∩ D5 |. Notemos que n es divisible por 3 si n es de la
forma 3k para algún entero k. Como 3 · 333 = 999, 3 · 334 = 1002, y 5 · 200 = 1000 podemos
concluir que
D3 = {3k : 1 ≤ k ≤ 333} y D5 = {5k : 1 ≤ k ≤ 200}.
Esto nos dice que |D3 | = 333 y |D5 | = 200. Por otra parte, observemos que si n ∈ D3 ∩ D5 ,
entonces n es divisible por 15 (pues la factorización de n en factores primos incluirá tanto al
3 como al 5). Recíprocamente, si n es divisible por 15 entonces n es divisible por 3 y por 5.
Esto nos dice que
D3 ∩ D5 = {n ∈ S : n es divisible por 15}.
Por lo tanto, como 15 · 66 = 990 y 15 · 67 = 1005, entonces
D3 ∩ D5 = {15k : 1 ≤ k ≤ 66}.
De esto tenemos que |D3 ∩ D5 | = 66. Finalmente
|D3 ∪ D5 | = |D3 | + |D5 | − |D3 ∩ D5 | = 333 + 200 − 66 = 467.
Veamos otro ejemplo. ¿Cuántos enteros en S son divisibles por 3, 5 o 7? Sea D7 el conjunto
D7 = {n ∈ S : n es divisible por 7}.
Al igual que antes se tiene que |D7 | = 142, pues 7 · 142 = 994 y 7 · 143 = 1001. Por otra
parte, como 7, 3 y 5 son números primos, entonces
D3 ∩ D7 = {n ∈ S : n es divisible por 21}
D5 ∩ D7 = {n ∈ S : n es divisible por 35}
D3 ∩ D5 ∩ D7 = {n ∈ S : n es divisible por 105}.
Razonando análogamente a como hiciéramos antes, obtenemos que |D3 ∩ D7 | = 47, |D5 ∩
D7 | = 28 y |D3 ∩ D5 ∩ D7 | = 9. Por el principio de inclusión y exclusión tenemos que
|D3 ∪ D5 ∪ D7 | = |D3 | + |D5 | + |D7 | − |D3 ∩ D5 | − |D3 ∩ D7 | −
|D5 ∩ D7 | + |D3 ∩ D5 ∩ D7 |
= 333 + 200 + 142 − 66 − 47 − 28 + 9
= 543.
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