CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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Hemos mostrado en cada uno de los casos que y tiene preimagen. Por lo tanto h es
sobreyectiva.
2
Podemos generalizar el resultado anterior para la unión de tres o más conjuntos disjuntos
de la manera siguiente.
Teorema 5.5. Sean A, B y C tres conjuntos finitos tales que A ∩ B = A ∩ C = B ∩ C = ∅,
entonces A ∪ B ∪ C es finito y además
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C|.
Demostración: Sean A, B y C tres conjuntos como en la hipótesis. Considere el siguiente
conjunto
D = A ∪ B.
Tenemos entonces que D y C son disjuntos (¿por qué?). Luego por el teorema 5.3 concluimos
que
|D ∪ C| = |D| + |C|.
Análogamente, como A y B son disjuntos, tenemos que
|D| = |A ∪ B| = |A| + |B|.
De la dos igualdades anteriores obtenemos
|A ∪ B ∪ C| = |D ∪ C| = |D| + |C| = |A| + |B| + |C|.
2
Cuando una familia de conjuntos {Ai }i tiene la propiedad que Ai ∩ Aj = ∅ para cada par
de índices distintos i, j se dice que la familia es disjunta dos a dos. El resultado anterior se
puede generalizar: Sea {Ai }n una familia de conjuntos finitos disjuntas dos a dos, entonces
i=1
|A1 ∪ · · · ∪ An | = |A1 | + · · · + |An |.
La demostración de este hecho queda como ejercicio (ver ejercicio 8).
Otra propiedad de los conjuntos finitos es la siguiente:
Teorema 5.6. Sea A un conjunto finito y B ⊆ A, entonces B es finito y además |B| ≤ |A|.
2
En otras palabras, si A tiene n elementos y B ⊆ A, entonces B tiene a lo sumo n
elementos. El lector que quiera ver una prueba formal de este resultado puede ver el ejercicio
9 donde encontrará algunas indicaciones de como hacerlo.
El siguiente resultado es similar al teorema 5.3 pero ahora también incluiremos el caso
donde los conjuntos A y B no son necesariamente disjuntos.