5.1. CONJUNTOS FINITOS Y MÉTODOS DE CONTEO
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Tenemos entonces dos funciones biyectivas
f : {1, 2, 3, 4} → A y g : {1, 2, 3, · · · , 7} → B.
La definición de h es la siguiente
h(x) =
f (x)
, si x ∈ {1, 2, 3, 4}
g(x − 4) , si x ∈ {5, 6, · · · , 11}.
A continuación verificaremos tres cosas: (i) h está bien definida. Es decir, verificaremos que
h en realidad asigna a cada x en {1, 2, · · · , 11} un elemento de A ∪ B, (ii) h es inyectiva y
(iii) h es sobreyectiva.
(i) h está bien definida. Sea x ∈ {1, 2, · · · , 11}. Hay dos casos a considerar:
(a) Supongamos que x ∈ {1, 2, 3, 4}. Entonces x pertenece al dominio de f y por lo
tanto f (x) está bien definida y así h(x) ∈ A (y en consecuencia, h(x) ∈ A ∪ B).
(b) Supongamos que x ∈ {5, 6, · · · , 11}. Entonces 5 ≤ x ≤ 11. De aquí se concluye
que 1 ≤ x − 4 ≤ 7. Es decir x − 4 pertenece al dominio de g y por lo tanto g(x − 4)
está bien definido. Además, en este caso h(x) ∈ B y por lo tanto h(x) ∈ A ∪ B.
(ii) h es inyectiva. Sean x, x ∈ {1, 2, · · · , 11} con x = x . Mostraremos que h(x) = h(x ).
Como h está definida por partes consideraremos todos los casos posibles.
(1) Supongamos que x, x ∈ {1, 2, 3, 4}. En este caso h(x) = f (x) y h(x ) = f (x ).
Como f es inyectiva y x = x , entonces f (x) = f (x ) y por lo tanto h(x) = h(x ).
(2) Supongamos que x, x ∈ {5, 6, · · · , , 11}. Este caso es similar al anterior.
(3) Supongamos que x ∈ {1, 2, 3, 4} y x ∈ {5, 6, · · · , , 11}. En este caso h(x) = f (x)
y h(x ) = g(x − 4). Como f (x) ∈ A, g(x − 4) ∈ B y por la hipótesis A ∩ B = ∅,
tenemos que f (x) = g(x − 4). Por lo tanto h(x) = h(x ).
(4) Supongamos que x ∈ {1, 2, 3, 4} y x ∈ {5, 6, · · · , , 11}. Este caso se trata como se
hizo con el tercer caso. Dejamos a cargo del lector completar los detalles.
Hemos mostrado que en cada uno de los casos posibles h(x) = h(x ) por lo tanto h es
inyectiva.
(iii) h es sobreyectiva. Fijemos y ∈ A ∪ B y mostremos que existe x ∈ {1, 2, · · · , 11} tal que
h(x) = y. Tenemos dos casos a considerar
(1) Supongamos que y ∈ A. Como f es sobreyectiva, entonces existe x ∈ {1, 2, 3, 4}
tal que f (x) = y. Por la definición de h tenemos que h(x) = y.
(2) Supongamos que y ∈ B. Como g es sobreyectiva, entonces existe z ∈ {1, · · · , 7}
tal que g(z) = y. Uno estaría tentado a decir que h(z) = y, pero esto no es cierto.
Lo que si podemos decir es que 5 ≤ z + 4 ≤ 11 y por lo tanto por la definición de
h tenemos que h(z + 4) = g(z) y en consecuencia h(z + 4) = y. Es decir z + 4 es
la preimagen de y.