CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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Diremos que A es finito si A es vacío o si tiene n elementos para algún n. Diremos que el
conjunto vacío tiene 0 elementos.
El lector debería convencerse que la definición que acabamos de dar captura la noción
intuitiva de un conjunto con n elementos.
El símbolo |A| se lee “el número de elementos de A”, también se dice “la cardinalidad de
|A|”. La ecuación |A| = |B|, se lee “A y B tienen el mismo número de elementos” o “ A y B
tienen la misma cardinalidad”.
Ejemplo 5.2. Sea A = {2, 4, a, b, 8}. Veamos que A satisface la definición de un conjunto
con 5 elementos. Para esto debemos conseguir una función biyectiva de {1, 2, 3, 4, 5} en A.
En efecto, considere la siguiente regla
f (1)
f (2)
f (3)
f (4)
f (5)
=
=
=
=
=
2
4
a
b
8
2
Teniendo aclarado la noción de “número de elemento de un conjunto” o “cardinalidad
de un conjunto finito” nos dedicaremos a estudiar sus propiedades. El primer resultado es
sumamente útil.
Teorema 5.3. Sean A y B dos conjuntos finitos. Si A y B son disjuntos (es decir, A∩B = ∅),
entonces |A ∪ B| = |A| + |B|.
Antes de dar la demostración de este resultado veremos un ejemplo.
Ejemplo 5.4. Sea A = {1, 4, 6} y B = {3, 7, 8, 9}. Tenemos que A ∩ B = ∅, A ∪ B es igual
a {1, 4, 6, 3, 7, 8, 9} y A ∪ B tiene 3 + 4 elementos.
Observe que es crucial que los conjuntos sean disjuntos. Por ejemplo, sea C = {1, 4, 6} y
D = {1, 7, 8, 9}. En este caso C ∩ D = {1} y C ∪ D tiene sólo 6 elementos.
2
Demostración del teorema 5.3: Sea n = |A| y m = |B|. Primero observemos que cuando A o
B es el conjunto vacío (es decir, si n = 0 o m = 0) en realidad no hay nada que demostrar;
pues si A = ∅, entonces A ∪ B = B y por lo tanto A ∪ B tiene m elementos. Por lo dicho
anteriormente, supondremos que n, m ≥ 1.
La hipótesis acerca de A y B nos asegura que existen dos funciones biyectivas: f :
{1, 2, 3, · · · , n} → A y g : {1, 2, 3, · · · , m} → B. La primera garantiza que A tiene n elementos y la segunda nos asegura que B tiene m elementos. Usando estas dos funciones tenemos
que ingeniárnosla para definir una función
h : {1, 2, 3, · · · , n + m} → A ∪ B
que sea biyectiva. Haremos la demostración para el caso particular n = 4 y m = 7. Dejaremos
como ejercicio al lector escribir una demostración para el caso general (ver ejercicio 7).