CAPÍTULO 4. FUNCIONES
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a) Sea C ⊆ A. Muestre que
C ⊆ f −1 (f [C])
b) Sea D ⊆ B. Muestre que
f [(f −1 (D)] ⊆ D
c) Determine cuándo se cumple la igualdad en los ejercicios anteriores.
d ) ¿Cuándo es correcto escribir f −1 [f [C]]?, para C ⊆ A.
9. Sea f : N → N dada por f (n) = 3n + 1 defina g : P(N) → P(N) por
g(A) = f −1 (A).
¿Es g sobreyectiva? ¿Es g inyectiva?
10. Sea f : A → B una función. Defina g : P(A) → P(B) y h : P(B) → P(A) por
g(D) = f [D] con D ⊆ A
y
h(E) = f −1 (E) con E ⊆ B.
Es decir, g(D) es la imagen de D bajo f y h(E) es la preimagen de E bajo f . Muestre
que
a) f es inyectiva si, y sólo si, g es inyectiva.
b) f es sobreyectiva si, y sólo si, g es sobreyectiva.
c) f es sobreyectiva si, y sólo si, h es sobreyectiva.
d ) f es inyectiva si, y sólo si, g(A \ D) = g(A) \ g(D) para todo D ⊆ A.
e) Si h es inyectiva, entonces f es sobreyectiva. ¿Es válido el recíproco?
11. Sean f : A → B y g : B → C funciones. Muestre que
a) (g ◦ f )−1 (c) = f −1 (g −1 (c)) para todo c ∈ C.
b) (g ◦ f )[D] = g[f [D]] para todo D ⊆ A.