4.5. LA IMAGEN Y LA PREIMAGEN DE UN CONJUNTO
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Ejercicios 4.5
1. Sea f : R → R dada por f (x) = x2 − 1. Halle los conjuntos que se indican.
(a) f [[1, 3]], √
(b)
(d) f [(1, 4) ∪ ( 27, 15)] (e)
f −1 ((−1, 3]),
f −1 ([5, 20))
(c) f [N]
(f) f −1 ((2, 5) ∪ [7, 15])
2. Sea f : R → R dada por f (x) = 3x − 1. Halle los conjuntos que se indican.
(a) f [[1, 3]],
(d) f [(1, 15)]
(b) f −1 (R),
(e) f −1 ({1, 2, 3})
(c) f [{1, 2, 3, 4}]
(f) f −1 ((0, 1 ])
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3. Sea f : N × N → N dada por
f (n, m) = 2n (2m + 1) − 1.
Halle los conjuntos que se indican
a) f −1 ({1, 2, 3, 4, 5, 6})
b) f [C] donde C = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3), (2, 1), (3, 2)}.
4. Sea f : R → R dada por f (x) = 3x2 + x + 1. Defina una relación S sobre R dada por
(x, x ) ∈ S ⇔ f (x) = f (x ).
Muestre que S es una relación reflexiva, simétrica y transitiva (es decir, S es una
relación de equivalencia).
5. Sea f : N → N dada por
f (n) = 3n + 1.
Defina una función g : P(N) → P(N) de la siguiente manera
g(A) = f [A].
a) Halle los conjuntos que se indican
(a) g({1, 3, 5}), (b) g({2, 3, 5}),
(c) g(P ) donde P son los números pares.
b) Muestre que g es inyectiva.
6. Sea f : Z → Z dada por f (x) = x2 + 4. Defina g : P(Z) → P(Z) por g(A) = f [A].
Muestre que g no es inyectiva.
7. Sea f : A → B una función
a) Muestre que f −1 (B) = A.
b) Sea C ⊆ D ⊆ A. Muestre que f [C] ⊆ f [D]
c) Sea E ⊆ F ⊆ B. Muestre que f −1 (E) ⊆ f −1 (F ).
8. Sea f : A → B una función