CAPÍTULO 4. FUNCIONES
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Dada una función f : A → B y un conjunto D ⊆ B definimos la preimagen de D como
el conjunto formado por todas las preimágenes de los elementos de D. La preimagen de un
conjunto la denotaremos por
f −1 (D).
En símbolos tenemos que
f −1 (D) = {x ∈ A : f (x) ∈ D}.
Observación: Es importante notar que la preimagen de un conjunto está bien definida
aún en el caso que f no sea biyectiva (y por lo tanto no tenga inversa). Aquí se abusa
de la notación, pues se usa el símbolo f −1 aún cuando f no sea biyectiva. Al comienzo
hay que prestar mas atención para no equivocarse: cuando se escribe f −1 (D), NO se está
implícitamente afirmando que f tiene inversa.
Cuando el conjunto D tiene sólo un elemento se usa la siguiente notación
f −1 (b).
Es decir
f −1 (b) = {a ∈ A : f (a) = b}.
Ejemplo 4.47. Sea f : R → R dada por
f (x) = 2 − x.
Tenemos que
f −1 ({1, 2, 3, 4, 5}) = {1, 0, −1, −2, −3}
f −1 ((1, 3]) = [−1, 1)
f −1 (2) = {0}
f −1 (4) = {−2}.
2
Ejemplo 4.48. Sea f : R → R dada por
f (x) = x2 + 1.
Entonces tenemos que
f −1 ((2, 4])
f −1 ({1, 2, 3, 4, 5})
f −1 (7)
5
f −1 ( 4 )
=
=
=
=
√
√
(1, √3] ∪ √ √ −1)
[− 3,
√
{0, 2,√ 2, 3, − 3, 2, −2}
−
√
{ 6, − 6}
1
{ 1 , − 2 }.
2
La preimagen de un conjunto puede ser vacía. Por ejemplo
f −1 ((−3, 0)) = ∅
f −1 ( 1 ) = ∅.
2
2