CAPÍTULO 4. FUNCIONES
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Ejercicios 4.4
1. Considere la siguientes funciones. Muestre que son biyectivas y halle su inversa.
a) f : Z → Z definida por f (x) = x + 5
b) f : Q → Q dada por f (x) = 5x − 8
c) f : R → R dada por f (x) =
x+2
4
d ) f : R \ {2} → R \ {3} dada por f (x) =
3x
x−2
e) f : {0, 1, · · · , 10} → {0, 1 · · · , 10} definida por f (x) = 10 − x
5
f ) f : (−1, 3) → (2, 7) dada por f (x) = 4 x +
1
1
g) f : (−1, 0) → (0, 4 ) dada por f (x) = 4 x +
h) f : (−8, 8) → (1, 2) dada por f (x) =
1
(x
16
13
4
1
4
− 8) + 2.
2. Considere la siguiente función f : N → N definida por partes
f (x) =
x + 1 , si x es par
x − 1 , si x es impar.
Muestre que f es biyectiva y halle su inversa. (Sugerencia: haga un esbozo del diagrama
de f ).
3. Defina una biyección de P({1, 2, 3}) en {1, 2, · · · , 8} y halle su inversa. (Sugerencia:
Puede definirla usando un diagrama).
4. Defina una biyección de {1, 2, 3, 4} en {a, b} × {a, b} y halle su inversa. (Sugerencia:
Puede definirla usando un diagrama).
5. Sean A y B dos conjuntos, suponga que existe una función biyectiva de A en B. ¿Será
cierto que existe una función biyectiva de B en A?
6. Sea f : A → B. Muestre que
f ◦ 1A = f.
7. Sean f : A → B y g : B → C funciones. Muestre las siguientes afirmaciones:
a) Si g ◦ f es inyectiva, entonces f es inyectiva.
b) Si g ◦ f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva.
c) Si g ◦ f = 1A , entonces f es inyectiva y g es sobreyectiva.
d ) Si g ◦ f es inyectiva y f es sobreyectiva, entonces g es inyectiva.
e) Si g ◦ f es sobreyectiva y g es inyectiva, entonces f es sobreyectiva.
8. Muestre que existen funciones f : A → B y g : B → A tales que g ◦ f = 1A pero ni f
ni g son biyectivas. Compare esto con lo que dice el teorema 4.39.
Sugerencia: El ejemplo es sencillo. Se puede obtener con A y B finitos. Haga un diagrama sagital.