4.4. LA FUNCIÓN INVERSA
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Despejando x obtenemos que
3−y
.
4
Verificaremos que si y ∈ (−13, −1), entonces 3−y ∈ (1, 4). En efecto, tenemos que
4
x=
−13 < y < −1.
Luego multiplicando por -1 obtenemos
1 < −y < 13.
Sumando 3 obtenemos
4 < 3 − y < 16.
Dividiendo entre 4 obtenemos
3−y
< 4.
4
Esto muestra que f es sobreyectiva. Además sugiere que la inversa de f es la función
1<
f −1 : (−13, −1) → (1, 4)
dada por
f −1 (y) =
3−y
.
4
En efecto, tenemos que
(f ◦ f −1 )(y) = f
3−y
4
=3−4
3−y
4
=y
y
(f −1 ◦ f )(x) = f −1 (3 − 4x) =
3 − (3 − 4x)
= x.
4
2
En el teorema 4.39 sobre la existencia de la inversa de una función f se pide que existe
una función g : B → A tal que g ◦ f = 1A y f ◦ g = 1B . Quizá el lector se haya preguntado
si es suficiente pedir una sola de estas dos condiciones para garantizar que f sea biyectiva.
La respuesta es no. Le dejamos al lector la tarea de mostrarlo (ver el ejercicio 8).
Para terminar esta sección mostraremos una propiedad importante de las funciones identidad.
Teorema 4.43. Sea f : A → B una función. Se tiene que
1B ◦ f = f
y f ◦ 1A = f.
Demostración: Mostraremos la primera igualdad, la otra queda como ejercicio. Es claro que
1B ◦ f y f tienen el mismo dominio y contradominio. Veamos que tienen la misma ley de
correspondencia. Sea x ∈ A, entonces por definición de composición y de la función identidad
1B tenemos que
(1B ◦ f )(x) = 1B (f (x)) = f (x).
2