CAPÍTULO 4. FUNCIONES
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Mostraremos que g = g . Ya que estamos suponiendo que g y g tienen el mismo dominio y
contradominio, sólo debemos verificar que tienen la misma ley de correspondencia. Fijemos
entonces y ∈ B y mostremos que g(y) = g (y). Como f es biyectiva, existe x ∈ A tal que
f (x) = y. De las ecuaciones (4.1) obtenemos que
g(y) = g(f (x)) = (g ◦ f )(x) = x = (g ◦ f )(x) = g (f (x)) = g (y).
Es decir, g = g .
En vista de esta propiedad que tienen la funciones biyectivas, se define la inversa de una
función de la manera siguiente
Definición 4.40. Sea f : A → B una función biyectiva. La inversa de f , que se denota
por f −1 , es la única función de B en A que satisface las dos condiciones siguientes
f −1 ◦ f = 1A y f ◦ f −1 = 1B .
2
Observación: Es importante notar que si f es biyectiva, entonces f −1 también es biyectiva.
Ejemplo 4.41. Sea g : Q → Q definida por g(x) = 2x + 1. Ya vimos anteriormente
que g es sobreyectiva. Verifiquemos que g es inyectiva. En efecto, supongamos que g(x) =
g(x ), es decir, que 2x + 1 = 2x + 1. Si restamos 1 a ambos miembros y luego dividimos
entre 2 obtenemos que x = x . Por lo tanto g es biyectiva y tiene inversa. Usualmente la
demostración de la sobreyectividad de la función da bastante información acerca de la regla
de correspondencia de la inversa. Recordemos que mostramos que dado y ∈ Q, se cumple
que
y−1
y−1
g
=2
+ 1 = (y − 1) + 1 = y.
2
2
Esto nos dice que la inversa de g esta dada por
g −1 (y) =
y−1
.
2
2
Ejemplo 4.42. Considere la función f : (1, 4) → (−13, −1) dada por
f (x) = 3 − 4x.
Mostraremos que f es biyectiva y calcularemos la ley de correspondencia de su inversa.
Supongamos que f (x) = f (x ), es decir, que 3 − 4x = 3 − 4x . De aquí se deduce
inmediatamente que x = x . Esto muestra que f es inyectiva.
Para ver que f es sobreyectiva. Consideremos la ecuación
y = 3 − 4x.