CAPÍTULO 4. FUNCIONES
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2. En efecto, sea z ∈ C cualquiera. Como g es sobreyectiva, entonces existe y ∈ B tal que
g(y) = z. Como y ∈ B y f es sobreyectiva, entonces existe x ∈ A tal que f (x) = y.
Afirmamos que (g ◦ f )(x) = z, pues (g ◦ f )(x) = g((f (x)) = g(y) = z.
3. Esto se deduce de las dos afirmaciones anteriores, pues si f y g son biyectivas, en
particular son inyectivas y sobreyectivas.
2
Ejercicios 4.3
1. Considere los siguientes diagramas que definen tres funciones:
g
5
C
1
C
B
B
y
y
6
x
7
2
A
b
a
C
3
B
A
A
A
A
1
x
D
C
A
2
c
A
B
3
C
B
B
C
A
h
C
f
Haga el diagrama de f ◦ g, g ◦ h y (f ◦ g) ◦ h.
2. Sean f, g, h : N → N las funciones definidas por f (n) = 3n+2, g(n) = n4 y h(n) = n+1.
Determine la ley de correspondencia de las siguientes funciones:
a) f ◦ g, f ◦ h, g ◦ f , g ◦ h, h ◦ f , h ◦ h, f ◦ f y g ◦ g.
b) f ◦ g ◦ h, g ◦ h ◦ g, f ◦ g ◦ f , f ◦ h ◦ f , h ◦ h ◦ h y h ◦ g ◦ f .
3. Sean f : R → R y g : R → R dadas por
f (x) =
1
1+x2
y g(x) =
1
.
2+x2
Determine la ley de correspondencia de f ◦ g y g ◦ f .
4. En cada uno de los siguientes ejercicios f es un función de R en R. Calcule la regla de
correspondencia de f ◦ f
a)
f (x) =
2x + 1 , si x ≤ 1
3x
, si x > 1
f (x) =
5x − 1 , si x ≤ 1
x2
, si x > 1
b)