4.3. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
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Sean f : A → B, g : B → C y h : C → D tres funciones. Podemos definir
h◦g :B →D
y
g ◦ f : A → B.
(h ◦ g) ◦ f : A → D
y
h ◦ (g ◦ f ) : A → D.
También podemos definir
El siguiente teorema dice que las dos últimas funciones son iguales. Es decir, la composición
de funciones es una operación asociativa.
Teorema 4.35. Sean f : A → B, g : B → C y h : C → D tres funciones. Se tiene que
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ).
Demostración: Ya que las dos funciones (h◦g)◦f y h◦(g◦f ) tienen dominio A y contradominio
D sólo resta verificar que tienen la misma ley de correspondencia. Sea x cualquier elemento
de A, entonces
((h ◦ g) ◦ f )(x) = (h ◦ g)(f (x)) = h(g(f (x)))
y por otra parte
(h ◦ (g ◦ f ))(x) = h((g ◦ f )(x)) = h(g(f (x))).
Esto muestra lo deseado.
2
Ejemplo 4.36. Considere f, g, h : N → N dadas por f (n) = n3 , g(n) = 2n+4 y h(n) = n2 +2.
Entonces usando los cálculos hechos en el ejercicio anterior tenemos que
((f ◦ g) ◦ h)(n) = (f ◦ g)(h(n)) = (f ◦ g)(n2 + 2) = [2(n2 + 2) + 4]3
(f ◦ (g ◦ h))(n) = f ((g ◦ h)(n)) = f (2n2 + 8)
= [2n2 + 8]3
Observe que [2(n2 + 2) + 4]3 = [2n2 + 8]3 .
2
Mostraremos ahora que la composición de funciones preserva la inyectividad, la sobreyectividad y por lo tanto también la biyectividad.
Teorema 4.37. Sean f : A (i""