CAPÍTULO 4. FUNCIONES
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Ejemplo 4.33. Consideremos las funciones f : N → Q definida por
f (n) =
y g : Q → Q definida por
n
n+2
g(x) = x2 .
Entonces podemos componer f con g y obtenemos g ◦ f : N → Q dada por
(g ◦ f )(n) =
Por ejemplo (g ◦ f )(4) =
n
n+2
2
.
4
.
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2
Ejemplo 4.34. Considere f, g, h : N → N dadas por
f (n) =
n3
g(n) = 2n + 4
h(n) = n2 + 2.
Podemos definir 9 funciones componiendo 2 de las anteriores.
(f ◦ g)(n)
(g ◦ f )(n)
(f ◦ h)(n)
(g ◦ h)(n)
(h ◦ f )(n)
(h ◦ g)(n)
(f ◦ f )(n)
(g ◦ g)(n)
(h ◦ h)(n)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
f ((g(n))
g(f (n))
f (h(n))
g(h(n))
h(f (n))
h(g(n))
f (f (n))
g(g(n))
h(h(n))
=
=
=
=
=
=
=
=
=
f (2n + 4)
g(n3 )
f (n2 + 2)
g(n2 + 2)
h(n3 )
h(2n + 4)
f (n3 )
g(2n + 4)
h(n2 + 2)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
(2n + 4)3
2n3 + 4
(n2 + 3)3
2(n2 + 2) + 4
(n3 )2 + 2
(2n + 4)2 + 2
(n3 )3
2(2n + 4) + 4
(n2 + 2)2 + 2
= 2n2 + 8
= n6 + 2
= n9
= 4n + 12
= n4 + 4n2 + 6
Podemos obtener otras funciones si componemos 3 o más, por ejemplo, f ◦ g ◦ h, f ◦ f ◦ f ◦ f ,
etc.
2
Observación: Hemos definido la composición de funciones cuando f : A → B y g : B → C.
Sin embargo, también se puede definir la compuesta g ◦ f cuando se cumple la siguiente
condición:
f : A → B, g : C → D
y
rango(f ) ⊆ C.
Lo importante es que dado x ∈ A se cumpla que f (x) ∈ C para que así tenga sentido la
expresión g(f (x)).
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