CAPÍTULO 4. FUNCIONES
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11. Sean A, B, C, D conjuntos tales que A ∩ B = ∅ y C ∩ D = ∅. Sean f : A → C y
g : B → D funciones inyectivas. Defina h : A ∪ B → C ∪ D de la siguiente manera:
f (x) , si x ∈ A
g(x) , si x ∈ B.
h(x) =
a) Muestre que la función definida en 4.16 es un caso particular de este ejemplo
(Sugerencia: Tome A como el conjunto de todos los enteros negativos y a B como
el conjunto de los enteros no negativos. Así que A ∪ B = Z. Tome C = A y D = B
y sean f (x) = 2x − 1 y g(x) = 3x + 1.)
b) Muestre que h es inyectiva.
12. Modifique el ejercicio anterior y obtenga un criterio para determinar cuando una función definida por partes es sobreyectiva.
4.3.
Composición de funciones
Cuando calculamos
2(5)3
lo hacemos por partes: primero calculamos
53
que es igual a 125 y después calculamos
2(125)
que nos da el resultado final 250. Podemos ver esta secuencia de operaciones en términos de
funciones. Consideraremos las funciones f, g : N → N dadas por
f (n) = n3
y
g(n) = 2n.
Es claro que 250 = g(125) y 125 = f (5) y de esto tenemos que
250 = g(f (5)).
Podemos entonces definir una nueva función, llamémosla h, a partir de f y g de la siguiente
manera h : N → N dada por
h(n) = g(f (n)).
Podemos calcular con más precisión la regla de h. En efecto, h(n) = g(n3 ) = 2n3 .
f
g
n → n3 → 2n3
Dadas dos funciones f : A → B y g : B → C podemos de manera natural definir un
función de A en C como se indica a continuación
a → g(f (a)).