4.2. FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS
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7. Diremos que una función f : Q → Q es creciente si para todo r, s ∈ Q se cumple que
r ≤ s ⇒ f (r) ≤ f (s)
En este caso también se suele decir que f preserva el orden. Determine cuales de las
siguientes funciones f : Q → Q son crecientes.
a) f (r) = r 2 ,
b) f (r) = 2r + 1,
c) f (r) =
r
,
r 2 +1
d ) f (r) = 5 − 4r,
e) f (r) = r 3 .
8. Determine el rango de las siguientes funciones y si son inyectivas, sobreyectivas y/o
biyectivas.
a) f : P(N) → P(N) dada por f (A) = A ∪ {0, 3, 7}
b) f : P(N) → P(N) dada por f (A) = A ∩ {n ∈ N : n es par}
c) f : P(N) → P(N) dada por f (A) = A {0, 3, 7}.
9. Sea f : A → B una función. Verifique que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
a) f es inyectiva.
b) Para todo a, a ∈ A (f (a) = f (a ) → a = a ).
(Sugerencia: Recuerde que una proposición condicional es lógicamente equivalente a su
contrarrecíproca. Enuncie la contrarrecíproca de la proposición condicional que aparece
en b)).
10. En los siguientes ejercicios daremos una “demostración” para que la evalúe y determine
si es correcta. Justifique su respuesta.
a) Afirmación: La función f : R → R dada por f (x) = 3x + 5 es inyectiva.
“Demostración”: Sean x, x dos números reales con f (x) = f (x ). Entonces 3x+5 =
3x + 5. Luego 3x = 3x y por lo tanto x = x . Esto muestra que f es inyectiva.
b) Afirmación: La función f : (1, 5) → (8, 30) dada por f (x) = 3x + 5 es sobreye 7F