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4.2. FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS 113 2. Consideremos los conjuntos {1, 2, 3, 4} y {0, 1}×{0, 1}. ¿Existirá una función biyectiva entre ellos?. Recordemos que {0, 1} × {0, 1} consiste de los pares ordenado (0, 0), (0, 1), (1, 0) y (1, 1). Podemos definir entonces una función f : {1, 2, 3, 4} → {0, 1} × {0, 1} de la manera siguiente: f (1) = (0, 0), f (2) = (0, 1), f (3) = (1, 0) y f (4) = (1, 1). De hecho, entre los conjuntos {1, 2, 3, 4} y {0, 1} × {0, 1} existen 24 funciones biyectivas distintas. 3. Una función biyectiva f : {1, 2, 3, · · · , n} → B se puede ver como una enumeración de los elementos de B. Es decir, la función f sirve para “etiquetar” los n elementos de B. Observe el lector lo que se hizo en los ejemplos anteriores y verá que la regla de correspondencia implícitamente enumeró los elementos del contradominio. 4. Veamos ahora un ejemplo con conjuntos infinitos. Sea E el conjunto de todos los números pares, es decir, E consiste de todos los números naturales de la forma 2n con n otro natural. Definimos f : N → E por f (n) = 2n. Mostraremos que f es biyectiva. Debemos mostrar dos cosas: (i) f es inyectiva: sean n, m ∈ N y supongamos que f (n) = f (m). Es decir, supongamos que 2n = 2m. De esto inmediatamente concluimos que n = m. Esto muestra que f es inyectiva. (ii) f es sobreyectiva: sea k ∈ E cualquiera, entonces k es un número par. Por lo tanto k es de la forma 2n para un natural n. De esto vemos que la preimagen de k es n. Por ejemplo, 48 ∈ E y 48 = 2 · 24 así que 24 es la preimagen de 48. 2 Ejercicios 4.2 1. En cada uno de los ejercicios que siguen determine si existe (y en caso que sea posible, encuentre) una función f : A → B que sea (a) inyectiva, (b) sobreyectiva, (c) biyectiva. a) A = {1, 2, 3, 4} y B = P({1}). b) A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {0} × {1, 2, 3, 4, 5}. c) A = {1, 2, 3, 4} y B = P({0, 1}). d ) A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = P({0, 1}). e) A = P({0, 1, 2}) y B = {1, 2, · · · , 8}. f ) A = {0, 1} × {0, 1} × {0, 1} y B = {0, 1, 2, · · · , 7}. 2. a) Halle todas las funciones biyectivas que se puedan definir de {1, 2, 3} en {a, b, c}. ¿Puede conseguir una función inyectiva entre estos conjuntos que no sea biyectiva?. ¿Existirá una función sobreyectiva entre estos conjuntos que no sea biyectiva? b) Halle una función inyectiva de {1, 2, 3} en {a, b, c, d}. ¿Puede hallarla biyectiva?. c) Halle una función sobreyectiva de {a, b, c, d} en {1, 2, 3}. ¿Puede hallarla inyectiva?.