CAPÍTULO 4. FUNCIONES
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Por esta razón se dice que una biyección establece una correspondencia biunívoca entre
los elementos del dominio y del contradominio.
Las funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas son las herramientas básicas para
comparar el número de elementos de dos conjuntos. Observando el digrafo de una función
biyectiva f : A → B vemos que A y B tienen el mismo número de elementos. Ahora bien,
si f : A → B es inyectiva, sólo podemos afirmar que B tiene al menos tantos elementos
como A (pero puede suceder que B tenga más elementos que A). Por último, si f : A → B
es sobreyectiva, sólo podemos afirmar que A tiene al menos tantos elementos como B (pero
puede suceder que A tenga más elementos que B).
Ejemplo 4.29. Consideremos los conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {1, 3, 5} y C = {1, 3}. Es fácil
encontrar una función biyectiva de A en B, una inyectiva de C en A y una sobreyectiva de
B en C. Como lo mostramos en los gráficos que siguen. Sin embargo, no es posible encontrar
una inyección de A en C, ni tampoco una función sobreyectiva de C en A. En particular,
esto nos dice además que no existe un función biyectiva entre A y C, lo cual es claro pues A
tiene 3 elemento y C sólo 2 elementos.
g
1
1
3
8
7
7
1
3
C
8
7
7
1
5
2
6
6
6
3
B
3
7
6
6
6
2
3
A
1
8
5
h
C
8
3
1
B
8
f
A
2
Un hecho general que usaremos con frecuencia lo enunciamos a continuación.
Teorema 4.30. Sea f : A → B una función inyectiva, definimos g : A → rango(f ) por
g(x) = f (x). Entonces g es biyectiva.
2
Terminaremos esta sección presentando algunos ejemplos de funciones biyectivas.
Ejemplos 4.31.
1. Consideremos los conjuntos {1, 2, 3} y {a, b, c}. ¿Existirá una función
biyectiva entre ellos? Es claro que sí . Por ejemplo, definimos la función f : {1, 2, 3} →
{a, b, c} por f (1) = a, f (2) = b y f (3) = c. Por una simple inspección vemos que f es
inyectiva y sobreyectiva. De hecho existen 6 funciones biyectivas distintas entre estos
dos conjuntos (ver ejercicio 2).