4.2. FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS
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Ejemplo 4.27. Sea f : (−1, −1) → R definida por f (x) = 2x + 3. Afirmamos que f no es
sobreyectiva. En efecto, notemos que si x ∈ (−1, 1) entonces
−1 < x < 1.
Multiplicando por 2 la desigualdad anterior obtenemos que
−2 < 2x < 2.
Ahora sumamos 3 a ambos miembros de la desigualdad anterior y obtenemos
1 < 2x + 3 < 5.
De esto se deduce que el rango de f está contenido en (1, 5). Y por consiguiente podemos
entonces concluir que f no es sobreyectiva pues, por ejemplo, 6 no tiene preimagen. Podemos
de hecho hallar el rango de f . En efecto, afirmamos que
rango(f) = (1, 5).
Nos falta mostrar que (1, 5) ⊆ rango(f). Sea x ∈ (1, 5). Es decir, 1 < x < 5. Entonces
restando 3 obtenemos
−2 < x − 3 < 2.
Ahora dividiendo entre 2 obtenemos
−1 <
x−3
< 1.
2
Dejamos al lector la verificación que
f
x−3
2
= x.
Con esto queda demostrado que todo x ∈ (1, 5) tiene preimagen y por lo tanto que (1, 5) es
el rango de f . Definimos g : (−1, 1) → (1, 5) por g(x) = 2x + 3. El teorema 4.26 nos dice que
g es sobreyectiva.
2
4.2.3.
Funciones biyectivas
Definición 4.28. Diremos que f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
Una función es biyectiva cuando su digrafo tiene la propiedad que a todo elemento del
contradominio le llega una y sólo una flecha, como se indica en el siguiente diagrama
A
B
5
5
5
5
5
5
5
5