CAPÍTULO 4. FUNCIONES
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Por esto B está en el rango de f . Observemos que para cada B que contenga al 2 y al 3
existen varios conjuntos A tales que f (A) = B. En efecto, tenemos que
f (B \ {2, 3}) = (B \ {2, 3}) ∪ {2, 3} = B,
f (B \ {3}) = (B \ {3}) ∪ {2, 3} = B,
f (B \ {2}) = (B \ {2}) ∪ {2, 3} = B.
Esto muestra que los conjuntos B, B \ {2, 3}, B \ {2} y B \ {3} todos tienen como imagen
a B.
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Es importante que también quede claro cuando una función no es sobreyectiva. En el
siguiente recuadro lo resaltaremos.
Sea f : A → B una función. Las afirmaciones (i) y (ii) son equivalentes
(i) f no es sobreyectiva
(ii) Existe un elemento b ∈ B tal que para ningún a ∈ A se tiene que b = f (a).
Notemos que para mostrar que una función no es sobreyectiva debemos encontrar UN
elemento del contradominio que no tenga preimagen.
Ejemplos 4.25.
siguiente
1. f : {0, 1, · · · , 6} → {0, 1, · · · , 6} definida por partes de la manera
f (x) =
x + 2 , si 0 ≤ x ≤ 2
7 − x , si 3 ≤ x ≤ 6.
¿Será f sobreyectiva? Como el dominio de f tiene sólo 7 elementos es sencillo responder
esta pregunta simplemente analizando por inspección todos los casos posibles. Vemos
que
rango(f) = {1, 2, 3, 4}.
De esto vemos que 5 no tiene preimagen y por lo tanto f no es sobreyectiva.
2. Podemos modificar el contradominio de la función dada en el ejemplo anterior y obtener
otra función que sí sea sobreyectiva. Definimos g : {0, 1, · · · , 6} → {1, 2, 3, 4} usando
la misma ley de correspondencia que la de f . Como el dominio de g es igual al de f y
usamos la misma regla, entonces se tiene que rango(g) es de nuevo {1, 2, 3, 4} y por lo
tanto g sí es sobreyectiva.
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En el último ejemplo hemos usado un hecho general acerca de las funciones que enunciaremos a continuación.
Teorema 4.26. Sea f : A → B una función. Defina g : A → rango(f ) por g(x) = f (x).
Entonces g es sobreyectiva.
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